Kegelschnitt auf Hauptachsen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 25.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo !
Ich schreibe am Dienstag eine Klausur und ein Thema verstehe ich noch nicht.
Könntet ihr mal schauen?
http://frozenfire.dnsalias.net/NEMESiS/Uni/MatheRepSS01.pdf
es geht um Aufgaben wie die 22. also wie man Kegelschnitte auf Hauptachsen transformiert.
Also wie man auf die Anfangs Matrix kommt glaube ich raus bekommen zu haben.
oben links steht das vor dem [mm] x^2.
[/mm]
rechts daneben das vor dem xy aber nur der halbe Wert. Das gleichen unten links.
Unten rechts steht das vor den [mm] x^2.
[/mm]
Eigenwerte bestimmen ist dann auch klar.
Was ist dann gemacht: ONB von Eigenvektoren ? Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren kenne ich, ich glaube hier ist aber nur der Eigenraum gebildet und dann ganz einfach nur der Vektor durch seinen Betrag geteilt worden.
Aber dann verstehe ich garnicht mehr, wie man an eine solche Aufgabe grundlegend dran geht. Könnet ihr mir das beschreiben oder vllt einen Link nennen, ich weiß echt nicht woher ich mir die Info holen soll, keiner von meinen Kollegen hat es richtig verstanden. Aus den Vorlesungen werde ich leider nicht schlau. und ich würde mich so freuen wenn ich mir das noch zeigen könntet, weil es ganz sicher dran kommt und mich die suche im Internet so durcheinander bringt.
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 25.02.2007 | | Autor: | svenchen |
insbesodnere weiss ich nicht was unter dem Schritt "ONB von Eigenvektoren"
gemacht wird. ok beim ersten ist es noch klar soweit ich das sehe Eigenraum gebildet und dann normiert.
Beim 2 . Eigenwert ist aber kein Eigenraum berechnet worden, der Vektor folgt direkt. Wie ?
Dann werden die wohl zu einer Determinante gestellt und der Vorfaktor 1/(wurzel 2) davor geschrieben ??!!
Woher weiß man welcher der Vektoren in der Determinante als erstes steht?
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Daß im Betrag der Determinante 1 rauskommt, weiß man ja schon, daher ist das uninteressant. Der Faktor kommt dabei von Deinem 2. Vektor, den kannst Du vorziehen, da die Determinante multilinear ist.
Jetzt geht es noch um die Orientierung Deiner Basis. Diese soll die gleiche Orientierung haben wie die Standardbasis (1,0), (0,1) von [mm] $\IR^2$. [/mm] Dazu machst Du mit der Determinante die Probe. Die Orientierung ist gleich genau dann, wenn die Determinante positiv ist. In unserem Fall stimmt das gerade, anderenfalls müßten wir nur ein minus vor einen der Vektoren schreiben und wir hätten das geforderte Rechtssystem.
Grüße,
Christian
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Hallo.
Also erstmal kommt man zu der Matrix $A$ im wesentlichen durch Probieren. Der Eintrag [mm] $a_{11}$ [/mm] und der Eintrag [mm] $a_{22}$ [/mm] sind jeweils die Koeffizienten vor [mm] $x^2$ [/mm] bzw. [mm] $y^2$. [/mm] Soweit noch klar denke ich. Die beiden anderen Einträge sind einfach so gewählt, daß sie in der Summe -2 ergeben, eben genau den Koeffizienten vor $xy$, und andererseits $A$ symmetrisch ist.
Dann werden die Eigenwerte sowie der erste Eigenvektor ausgerechnet.
Der zweite Eigenvektor ist dann eigentlich klar, weil es, da wir im 2-dimensionalen sind) nur noch eine Richtung (eben die orthogonale) geben kann. Man sucht sich also einfach einen Vektor senkrecht dazu und normiert seine Länge auf 1. Der ist dann tatsächlich auch Eigenvektor, da die Matrix $A$ reell und symmetrisch ist.
Hoffe, das ganze ist ein bißchen klar geworden.
Grüße,
Christian
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ok man hat die Eigenwerte und die normierten.
Aus den normierten bildet man eine Determinante.
Und vor diese Determinante kommt dann der Vorfaktor von einem der beiden Eigenwerte vor (von welchem ?) Woher weiß ich welcher Vektor in der Determinante zuerst steht ?
könntet ihr mir dann noch diese quadratische Ergänzung erklären und wie man das allegemein macht, da steig ich grad garnicht hinter. Kochrezept wäre nicht schlecht ;)
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 28.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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