Kegel zu sich selbst dual? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 11.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
der duale Kegel K zu [mm] K^\* [/mm] ist ja so definiert:
[mm] K^\* [/mm] = [mm] \{ p \in \IR^n : \quad \geq 0 \quad \forall x \in K \}
[/mm]
Wie kann man nun sehen, dass der Lorenz-Kegel zu sich selbst dual ist?
Es gilt ja für ihn nach Def.:
[mm] L^n [/mm] = [mm] \{ \vektor{ \overline{x} \\ x_n} : \| \overline{x} \| \leq x_n \}
[/mm]
Die Ungleichung bedeutet ja so viel wie:
[mm] \sqrt{x_1^2 + ... + x_{n-1}^2 } \leq x_n.
[/mm]
Für den dualen Kegel müsste also gelten:
[mm] (L^n)^\* [/mm] = [mm] \{ p \in \IR^n : \quad \geq 0 \quad \forall x \in L^n \} [/mm]
Wie sieht man nun, dass diese Menge grade wieder der [mm] L^n [/mm] ist??
In sämtlichen Büchern / Skripten steht immer nur dass es so ist aber nicht warum :-(
Wär super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
Viele Grüße & schöne Feiertage,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 So 11.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> der duale Kegel K zu [mm]K^\*[/mm] ist ja so definiert:
> [mm]K^\*[/mm] = [mm]\{ p \in \IR^n : \quad \geq 0 \quad \forall x \in K \}[/mm]
>
> Wie kann man nun sehen, dass der Lorenz-Kegel zu sich
> selbst dual ist?
>
> Es gilt ja für ihn nach Def.:
>
> [mm]L^n[/mm] = [mm]\{ \vektor{ \overline{x} \\ x_n} : \| \overline{x} \| \leq x_n \}[/mm]
>
> Die Ungleichung bedeutet ja so viel wie:
>
> [mm]\sqrt{x_1^2 + ... + x_{n-1}^2 } \leq x_n.[/mm]
>
> Für den dualen Kegel müsste also gelten:
>
> [mm](L^n)^\*[/mm] = [mm]\{ p \in \IR^n : \quad \geq 0 \quad \forall x \in L^n \}[/mm]
>
> Wie sieht man nun, dass diese Menge grade wieder der [mm]L^n[/mm]
> ist??
>
> In sämtlichen Büchern / Skripten steht immer nur dass es so
> ist aber nicht warum :-(
Du musst nur die Bedingungen hinschreiben und die Ungleichungskette aufstellen. Wenn du
[mm] p= \vektor{ \overline{p} \\ p_n} [/mm]
schreibst, so ist für alle [mm] $x\in L^n$ [/mm] und [mm] $p\in (L^n)^\ast$: $0\le \left [/mm] = [mm] \left<\overline{p},\overline{x}\right> [/mm] + [mm] p_n x_n [/mm] $.
Wir wählen nun ein [mm] $x\in L^n$ [/mm] so, dass [mm] $\left<\overline{p},\overline{x}\right> [/mm] = [mm] -\|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|$ ($\|\overline{p}\|$ [/mm] und [mm] $\|\overline{x}\|$ [/mm] antiparallel). [mm] $x_n$ [/mm] ist nicht weiter festgelegt. Dann ist
[mm] 0 \le -\|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|+ p_n x_n | \implies p_nx_n \ge \|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|[/mm].
Dies gilt auch für den Fall [mm] $x_n=\|\overline{x}\|$, [/mm] woraus [mm] $p_n\ge\|\overline{p}\|$ [/mm] folgt.
Damit ist gezweigt, dass [mm] $\left< p,x\right >\ge 0\implies p_n\ge\|\overline{p}\|$, [/mm] also der duale Kegel eine Teilmenge des [mm] $L^n$ [/mm] ist. Jetzt müsstest du noch nachweisen, dass aus
[mm] $p_n\ge\|\overline{p}\|$ [/mm] immer [mm] $\left< p,x\right >\ge [/mm] 0$ folgt. Tipp: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 11.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
vielen besten Dank für deine Erklärungen, so langsam versteht mein kleines Hirn ein bisschen mehr davon 
Also die Idee des Beweises ist einmal zu zeigen dass [mm] (L^n)^\* \subseteq L^n [/mm] ist und dann noch [mm] (L^n)^\* \supseteq L^n [/mm] und damit folgt Gleichheit, richtig?
> Wir wählen nun ein [mm]x\in L^n[/mm] so, dass
> [mm]\left<\overline{p},\overline{x}\right> = -\|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|[/mm]
> ([mm]\|\overline{p}\|[/mm] und [mm]\|\overline{x}\|[/mm] antiparallel). [mm]x_n[/mm]
> ist nicht weiter festgelegt.
Warum dürfen wir einfach so ein bestimmtes x [mm] \in L^n [/mm] wählen? Was ist mit den x für die die Gleichung nicht gilt? ...und was bedeutet antiparallel hier genau?
> Dies gilt auch für den Fall [mm]x_n=\|\overline{x}\|[/mm], woraus
> [mm]p_n\ge\|\overline{p}\|[/mm] folgt.
Hier die gleiche Frage, was ist mit den [mm] x_n [/mm] für die das nicht gilt? Interessieren die uns einfach nicht und müssen nicht beachtet werden? Aber warum kann man dann schließen dass [mm] p_n \geq \| \overline{p} \| [/mm] immer gilt egal wie man die x [mm] \in L^n [/mm] vorher gewählt hat?
> also der duale Kegel eine Teilmenge des [mm]L^n[/mm] ist. Jetzt
> müsstest du noch nachweisen, dass aus
> [mm]p_n\ge\|\overline{p}\|[/mm] immer [mm]\left< p,x\right >\ge 0[/mm] folgt.
> Tipp: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Ok, das hab ich gleich mal versucht:
<p,x> = < [mm] \overline{p}, \overline{x} [/mm] > + [mm] p_n x_n \leq \| \overline{p} \| \| \overline{x} \| [/mm] + [mm] p_n x_n [/mm] (Cauchy-Schwarz)
[mm] \leq p_n \| \overline{x} \| [/mm] + [mm] p_n x_n [/mm] (wegen Vss. [mm] \| \overline{p} \| \leq p_n)
[/mm]
= [mm] p_n \|x\| [/mm] (da [mm] x_n [/mm] + [mm] \| \overline{x} \| [/mm] = ( [mm] |x_n|^2 [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n-1} |x_i|^2 )^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \|x\| [/mm] ).
Hm, ich sehe aber nicht warum das jetzt größer gleich Null sein muss, [mm] p_n [/mm] könnte ja negativ sein, oder?
Und ist das Skalarprodukt nicht eigentlich sowieso immer größer gleich Null? Aber man muss das hier ganz alleine aus [mm] \| \overline{p} \| \leq p_n [/mm] folgen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mo 12.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> vielen besten Dank für deine Erklärungen, so langsam
> versteht mein kleines Hirn ein bisschen mehr davon
> Also die Idee des Beweises ist einmal zu zeigen dass
> [mm](L^n)^\* \subseteq L^n[/mm] ist und dann noch [mm](L^n)^\* \supseteq L^n[/mm]
> und damit folgt Gleichheit, richtig?
Ja.
> > Wir wählen nun ein [mm]x\in L^n[/mm] so, dass
> > [mm]\left<\overline{p},\overline{x}\right> = -\|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|[/mm]
> > ([mm]\|\overline{p}\|[/mm] und [mm]\|\overline{x}\|[/mm] antiparallel). [mm]x_n[/mm]
> > ist nicht weiter festgelegt.
> Warum dürfen wir einfach so ein bestimmtes x [mm]\in L^n[/mm]
> wählen? Was ist mit den x für die die Gleichung nicht gilt?
Die Aussage ist doch: Der duale Kegel besteht aus allen Vektoren, deren Skalarprodukt mit allen Vektoren aus dem Lorentzkegel [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Da dies für alle [mm] $x\in L^n$ [/mm] gilt, muss es auch für spezielle [mm] $x\in L^n$ [/mm] gelten.
> ...und was bedeutet antiparallel hier genau?
Dass der Vektor [mm] $\overline{x}$ [/mm] in die entgegengesetzte Richtung zeigt wie [mm] $\overline{p}$ [/mm] .
>
> > Dies gilt auch für den Fall [mm]x_n=\|\overline{x}\|[/mm], woraus
> > [mm]p_n\ge\|\overline{p}\|[/mm] folgt.
>
> Hier die gleiche Frage, was ist mit den [mm]x_n[/mm] für die das
> nicht gilt? Interessieren die uns einfach nicht und müssen
> nicht beachtet werden? Aber warum kann man dann schließen
> dass [mm]p_n \geq \| \overline{p} \|[/mm] immer gilt egal wie man
> die x [mm]\in L^n[/mm] vorher gewählt hat?
Die Argumentation geht so: Nimm ein beliebiges [mm] $p\in (L^n)^\ast$. [/mm] Nach der Definition ist [mm] $\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in L^n$, [/mm] also auch für solche, für die [mm] $<\overline{p},\overline{x}>=-\|\overline{p}\|*\|\overline{x}\|$. [/mm] Ein solches x gibt es, nämlich eines mit [mm] $\overline{x}=-\overline{p}$ [/mm] und [mm] $x_n [/mm] = [mm] \|\overline{p}\|$. [/mm] Damit ist
[mm] 0\le = -\|\overline{p}\|^2 + \|\overline{p}\|p_n \implies p_n \ge \|\overline{p}\| [/mm].
> > also der duale Kegel eine Teilmenge des [mm]L^n[/mm] ist. Jetzt
> > müsstest du noch nachweisen, dass aus
> > [mm]p_n\ge\|\overline{p}\|[/mm] immer [mm]\left< p,x\right >\ge 0[/mm] folgt.
> > Tipp: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
>
> Ok, das hab ich gleich mal versucht:
>
> <p,x> = < [mm]\overline{p}, \overline{x}[/mm] > + [mm]p_n x_n \leq \| \overline{p} \| \| \overline{x} \|[/mm]
> + [mm]p_n x_n[/mm] (Cauchy-Schwarz)
>
> [mm]\leq p_n \| \overline{x} \|[/mm] + [mm]p_n x_n[/mm] (wegen Vss. [mm]\| \overline{p} \| \leq p_n)[/mm]
>
> = [mm]p_n \|x\|[/mm] (da [mm]x_n[/mm] + [mm]\| \overline{x} \|[/mm] = ( [mm]|x_n|^2[/mm] +
> [mm]\sum_{i=1}^{n-1} |x_i|^2 )^{\frac{1}{2}}[/mm] = [mm]\|x\|[/mm] ).
>
> Hm, ich sehe aber nicht warum das jetzt größer gleich Null
> sein muss, [mm]p_n[/mm] könnte ja negativ sein, oder?
Nein, denn [mm]p_n \ge \|\overline{p}\|\ge 0[/mm] nach Voraussetzung.
> Und ist das Skalarprodukt nicht eigentlich sowieso immer
> größer gleich Null?
Nein. Du musst ja nur einen der beiden Vektoren mit -1 malnehmen, und schon wechselt das Skalarprodukt sein Vorzeichen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärungen.
So ganz gefällt mir die Rückrichtung aber noch nicht.
> > <p,x> = < [mm]\overline{p}, \overline{x}[/mm] > + [mm]p_n x_n \leq \| \overline{p} \| \| \overline{x} \|[/mm]
> > + [mm]p_n x_n[/mm] (Cauchy-Schwarz)
> >
> > [mm]\leq p_n \| \overline{x} \|[/mm] + [mm]p_n x_n[/mm] (wegen Vss. [mm]\| \overline{p} \| \leq p_n)[/mm]
>
> >
> > = [mm]p_n \|x\|[/mm] (da [mm]x_n[/mm] + [mm]\| \overline{x} \|[/mm] = ( [mm]|x_n|^2[/mm] +
> > [mm]\sum_{i=1}^{n-1} |x_i|^2 )^{\frac{1}{2}}[/mm] = [mm]\|x\|[/mm] ).
> >
> > Hm, ich sehe aber nicht warum das jetzt größer gleich Null
> > sein muss, [mm]p_n[/mm] könnte ja negativ sein, oder?
>
> Nein, denn [mm]p_n \ge \|\overline{p}\|\ge 0[/mm] nach
> Voraussetzung.
Wenn ich die Vss hier im letzten Schritt nochmal einbringe, dann hab ich zwar dass [mm] p_n \|x\| \geq [/mm] 0 ist, was ich zuerst wollte, aber das hilft doch gar nichts? Weil wenn man jetzt die Ungleichungskette von Anfang an liest haben wir
<p,x> = ... [mm] \leq [/mm] ... = ... [mm] \geq [/mm] 0.
Das sagt doch nur, dass das Skalaprodukt kleiner ist als etwas das größer Null ist, aber damit muss <p,x> doch noch nicht größer Null sein??
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 13.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für die Erklärungen.
>
> So ganz gefällt mir die Rückrichtung aber noch nicht.
>
> > > <p,x> = < [mm]\overline{p}, \overline{x}[/mm] > + [mm]p_n x_n \leq \| \overline{p} \| \| \overline{x} \|[/mm]
> > > + [mm]p_n x_n[/mm] (Cauchy-Schwarz)
> > >
> > > [mm]\leq p_n \| \overline{x} \|[/mm] + [mm]p_n x_n[/mm] (wegen Vss. [mm]\| \overline{p} \| \leq p_n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]p_n \|x\|[/mm] (da [mm]x_n[/mm] + [mm]\| \overline{x} \|[/mm] = ( [mm]|x_n|^2[/mm] +
> > > [mm]\sum_{i=1}^{n-1} |x_i|^2 )^{\frac{1}{2}}[/mm] = [mm]\|x\|[/mm] ).
> > >
> > > Hm, ich sehe aber nicht warum das jetzt größer gleich Null
> > > sein muss, [mm]p_n[/mm] könnte ja negativ sein, oder?
> >
> > Nein, denn [mm]p_n \ge \|\overline{p}\|\ge 0[/mm] nach
> > Voraussetzung.
>
> Wenn ich die Vss hier im letzten Schritt nochmal einbringe,
> dann hab ich zwar dass [mm]p_n \|x\| \geq[/mm] 0 ist, was ich zuerst
> wollte, aber das hilft doch gar nichts? Weil wenn man jetzt
> die Ungleichungskette von Anfang an liest haben wir
> <p,x> = ... [mm]\leq[/mm] ... = ... [mm]\geq[/mm] 0.
> Das sagt doch nur, dass das Skalaprodukt kleiner ist als
> etwas das größer Null ist, aber damit muss <p,x> doch noch
> nicht größer Null sein??
Hmja, da hab' ich nicht aufgepasst. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung muss in der Form
[mm] -\|\overline{p} \| \| \overline{x} \| \le \left<\overline{p},\overline{x} \right> \le + \|\overline{p} \| \| \overline{x} \| [/mm]
eingesetzt werden:
[mm] \left = p_nx_n+\left<\overline{p},\overline{x} \right> \ge p_nx_n- |\overline{p} \| \| \overline{x} \| \ge p_n \| \overline{x} \| - |\overline{p} \| \| \overline{x} \| = \| \overline{x} \| (p_n - |\overline{p} \|) \ge 0 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 13.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,> Hallo Riley!
ah, da ist gut die Ungleichung so zu benutzen.
> [mm]\left = p_nx_n+\left<\overline{p},\overline{x} \right> \ge p_nx_n- |\overline{p} \| \| \overline{x} \| \ge p_n \| \overline{x} \| - |\overline{p} \| \| \overline{x} \| = \| \overline{x} \| (p_n - |\overline{p} \|) \ge 0 [/mm].
Ich glaub jetzt hab ichs verstanden! *freu* Die Abschätzung [mm] x_n \geq \| \overline{x} \| [/mm] gilt, weil wir bei <p,x> ja alle x [mm] \in L^n [/mm] betrachten, oder'?
Ganz vielen Dank nochmal!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> ah, da ist gut die Ungleichung so zu benutzen.
>
> > [mm]\left = p_nx_n+\left<\overline{p},\overline{x} \right> \ge p_nx_n- |\overline{p} \| \| \overline{x} \| \ge p_n \| \overline{x} \| - |\overline{p} \| \| \overline{x} \| = \| \overline{x} \| (p_n - |\overline{p} \|) \ge 0 [/mm].
>
> Ich glaub jetzt hab ichs verstanden! *freu* Die Abschätzung
> [mm]x_n \geq \| \overline{x} \|[/mm] gilt, weil wir bei <p,x> ja
> alle x [mm]\in L^n[/mm] betrachten, oder'?
Genau!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 15.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
sorry, ich glaub ich hab mich zu früh gefreut. Warum ist [mm] p_n [/mm] - [mm] \|p\| \geq [/mm] 0 ?
> > > [mm]\left = p_nx_n+\left<\overline{p},\overline{x} \right> \ge p_nx_n- |\overline{p} \| \| \overline{x} \| \ge p_n \| \overline{x} \| - |\overline{p} \| \| \overline{x} \| = \| \overline{x} \| (p_n - |\overline{p} \|) \ge 0 [/mm].
Die x [mm] \in L^n, [/mm] ja, aber die p sind doch eigentlich nur aus X, warum gilt das für die? Oder muss man sich da wieder diese speziellen herauspicken?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 15.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> sorry, ich glaub ich hab mich zu früh gefreut. Warum ist
> [mm]p_n[/mm] - [mm]\|p\| \geq[/mm] 0 ?
Nach Voraussetzung. Im ersten Schritt haben wir vor ein paar Tagen aus [mm]\left \ge0[/mm] die Aussage [mm]p_n - \|p\| \geq 0 [/mm] hergeleitet. Hier gings um die Umkehrung, also war [mm]p_n - \|p\| \geq 0 [/mm] vorausgesetzt.
Damit folgt [mm]\left \ge0 \gdw p_n - \|p\| \geq 0 [/mm] .
Viele Grüße,
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Do 15.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah, stimmt, jetzt hab ich's wieder - hab die p's und x's schon ganz durcheinander geworfen. Also vielen Dank nochmal für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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