Kartenspiel mit 7 Karten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Ein Kartenspiel bestehe aus sechs blauen und einer gelben Karte. Aus diesem Stapel wird wiederholt eine Karte zufällig gezogen. ist die gezogene Karte gelb, wird sie in den Stapel zurückgelegt; ist sie blau, wird sie beiseite gelegt und im Spiel durch eine weitere gelbe Karte ersetzt. In jedem Fall wird der Kartenstapel vor jeder neuen Zieheung gut gemischt.
Eine Spielbank bietet folgendes Spiel an: Nach einem Einsatz von k Euro wird nach obiger Regel dreimal gezogen. Ein Spieler erhält von der Bank:
100€ für drei gezogene gelbe Karten,
5€ für genau zwei gezogene gelbe Karten,
und 2€ für genau eine gezogene gelbe Karte.
Wird keine gelbe Karte gezogen, so ist der Einsatz für den Spieler verloren. Wie groß muss die Bank den Einsatz k (in ganzen €) wählen um langfristig pro Spiel mindestens 1€ Gewinn zu machen? |
Hi Leute,
obiger Aufgabenstellung ist soweit nix mehr hinzuzufügen.
Ich hab dann mal mit der Grundmenge angefangen:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (\omega_1, \omega_2) | \omega_1, \omega_2 \in \{ 1,2,3,...,7\} \text{ mit } \omega_i \neq \omega_j\}$
[/mm]
Meiner Ansicht nach gibt es doch hier jetzt [mm] 2^3=8 [/mm] Möglichkeiten, oder?
Wenn ich das jetzt mal mit einer Menge aufschreibe:
{{b,b,b};{b,b,g};{b,g,g};{g,g,b};{g,b,g};{g,g,g};{b,g,b};{g,b,b,}}
Aber wie muss ich jetzt die Wahrscheinlichkeiten berechnen?
Gehen wir mal von dem Fall aus, dass der Spiele keine gelbe Karte nach 3 Ziehungen erwischt:
1. Ziehung: [mm] \frac17
[/mm]
2. Ziehung: [mm] \frac27
[/mm]
3. Ziehung: [mm] \frac37
[/mm]
-> [mm] \frac17 \cdot \frac27 \cdot \frac37 [/mm] = [mm] \frac{6}{343}
[/mm]
Irgendwie komm ich aber ab da jetzt nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo bandchef!
> Ein Kartenspiel bestehe aus sechs blauen und einer gelben
> Karte. Aus diesem Stapel wird wiederholt eine Karte
> zufällig gezogen. ist die gezogene Karte gelb, wird sie in
> den Stapel zurückgelegt; ist sie blau, wird sie beiseite
> gelegt und im Spiel durch eine weitere gelbe Karte ersetzt.
> In jedem Fall wird der Kartenstapel vor jeder neuen
> Zieheung gut gemischt.
> Eine Spielbank bietet folgendes Spiel an: Nach einem
> Einsatz von k Euro wird nach obiger Regel dreimal gezogen.
> Ein Spieler erhält von der Bank:
>
> 100€ für drei gezogene gelbe Karten,
> 5€ für genau zwei gezogene gelbe Karten,
> und 2€ für genau eine gezogene gelbe Karte.
> Hi Leute,
>
> obiger Aufgabenstellung ist soweit nix mehr hinzuzufügen.
Wirklich? Wie wäre es denn mit einer Fragestellung? Z.B. für welchen Betrag k ist das Spiel fair?
> Ich hab dann mal mit der Grundmenge angefangen:
>
> [mm]\Omega = \{ (\omega_1, \omega_2) | \omega_1, \omega_2 \in \{ 1,2,3,...,7\} \text{ mit } \omega_i \neq \omega_j\}[/mm]
Es wird doch drei mal gezogen... Ich würde es so formulieren: [mm]\Omega=\{(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\mid \omega_i\in\{b,g\}, i=1,2,3\}[/mm], dann passt es auch zu deiner Auflistung unten. (Statt [mm]\{b,g\}[/mm] kannst du auch [mm]\{0,1\}[/mm] nehmen.)
> Meiner Ansicht nach gibt es doch hier jetzt [mm]2^3=8[/mm]
> Möglichkeiten, oder?
Seh ich auch so.
> Wenn ich das jetzt mal mit einer Menge aufschreibe:
>
> {{b,b,b};{b,b,g};{b,g,g};{g,g,b};{g,b,g};{g,g,g};{b,g,b};{g,b,b,}}
>
> Aber wie muss ich jetzt die Wahrscheinlichkeiten
> berechnen?
>
> Gehen wir mal von dem Fall aus, dass der Spiele keine gelbe
> Karte nach 3 Ziehungen erwischt:
>
> 1. Ziehung: [mm]\frac17[/mm]
> 2. Ziehung: [mm]\frac27[/mm]
> 3. Ziehung: [mm]\frac37[/mm]
>
> -> [mm]\frac17 \cdot \frac27 \cdot \frac37[/mm] = [mm]\frac{6}{343}[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, keine gelbe Karte bei der ersten Ziehung zu erwischen ist doch [mm]P(b,X,X)=\frac 67[/mm], bei der zweiten Ziehung kommt eine gelbe Karte mehr dazu, also ist die Wahrscheinlichkeit [mm]P(b,b,X)=\frac 67\cdot\frac 57[/mm] und schließlich [mm]P(b,b,b)=\frac 67\cdot\frac 57\cdot \frac 47[/mm]
> Irgendwie komm ich aber ab da jetzt nicht mehr weiter...
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für "genau einmal gelb", "genau zweimal gelb" und "dreimal gelb".
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Oh, entschuldige bitte. Ich hab da in der Tat bei der Aufgabenstellung was übersehen. Ich hab's im ersten Beitrag von mir editiert.
Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Karten gelbe Karten bring ich noch auf die Reihe:
$P(X=3) = [mm] \frac17 \cdot \frac17 \cdot \frac17 [/mm] = [mm] \frac{1}{343}$
[/mm]
Wenn der Spiel das Glück hat, die erste gelbe Karte aufzudecken wird diese ja entfernt und eine neue gelbe Karte hinzugefügt. Somit hat er wieder die Chanche von 1/7. Bei der dritten Karte das gleiche...
Wie aber geht das nun für genau eine bzw. genau zwei Karten?
$P(X=1) = [mm] \frac17 \cdot \frac67 \cdot \frac57 [/mm] + [mm] \frac27 \cdot \frac47 \cdot \frac57 [/mm] + [mm] \frac37 \cdot \frac47 \cdot \frac37 [/mm] = $?
Bei der ersten Ziehung hat er eine Chance von 1/7 eine gelbe Karte zu erwischen. 5/7 und 6/7 für die zweite und dritte Karte. Wenn er blau bekommt, dann erhöht sich die Anzahl gelber Karten von 1 auf 2. Somit eine Chance von 2/7 für die gelbe Karte in der zweiten Ziehung. 5/7 und 4/7 für die zweite und dritte blaue. Bei der dritten Ziehung kommt eine dritte gelbe hinzu, so 3/7 für gelb und 4/7 bzw. 3/7 für zweite bzw. dritte blaue.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Oh, entschuldige bitte. Ich hab da in der Tat bei der
> Aufgabenstellung was übersehen. Ich hab's im ersten
> Beitrag von mir editiert.
>
> Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Karten gelbe Karten
> bring ich noch auf die Reihe:
>
> [mm]P(X=3) = \frac17 \cdot \frac17 \cdot \frac17 = \frac{1}{343}[/mm]
Das ist ok.
>
> Wenn der Spiel das Glück hat, die erste gelbe Karte
> aufzudecken wird diese ja entfernt und eine neue gelbe
> Karte hinzugefügt. Somit hat er wieder die Chanche von
> 1/7. Bei der dritten Karte das gleiche...
>
> Wie aber geht das nun für genau eine bzw. genau zwei
> Karten?
>
> [mm]P(X=1) = \frac17 \cdot \frac67 \cdot \frac57 + \frac27 \cdot \frac47 \cdot \frac57 + \frac37 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = [/mm]?
>
> Bei der ersten Ziehung hat er eine Chance von 1/7 eine
> gelbe Karte zu erwischen. 5/7 und 6/7 für die zweite und
> dritte Karte. Wenn er blau bekommt, dann erhöht sich die
> Anzahl gelber Karten von 1 auf 2. Somit eine Chance von 2/7
> für die gelbe Karte in der zweiten Ziehung. 5/7 und 4/7
> für die zweite und dritte blaue. Bei der dritten Ziehung
> kommt eine dritte gelbe hinzu, so 3/7 für gelb und 4/7
> bzw. 3/7 für zweite bzw. dritte blaue.
Nicht ganz:
[mm] p(g,b,b)=\frac{1}{7}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{7}
[/mm]
[mm] p(b,g,b)=\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{7}
[/mm]
[mm] p(b,b,g)=\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{3}{7}
[/mm]
Nun gilt:
P(X=1)=p(g,b,b)+p(b,g,b)+p(b,b,g)
Außerdem:
[mm] p(g,g,b)=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{7}\cdot\frac{6}{7}
[/mm]
[mm] p(g,b,g)=\frac{1}{7}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{7}
[/mm]
[mm] p(b,g,g)=\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{7}
[/mm]
Damit gilt:
P(X=2)=p(g,g,b)+p(g,b,g)+p(b,g,g)
Berechne nun auch noch die Wahrscheinlichkeit P(X=0), hier:
[mm] P(X=0)=\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{4}{7}
[/mm]
Danach berechne den Erwartungswert des Gewinnes für den Spieler, der k€ als Einsatz zahlt, also -k€ gewinnt
[mm] $E(X)=-k\cdot P(X=0)+(2-k)\cdot P(X=1)+(5-k)\cdot P(X=2)+(100-k)\cdot [/mm] P(X=3)$
Berechne dann das k, dass dieses Spiel fair ist, also E(X)=0.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Was ich im Fall P(X=1) nicht verstehe ist, warum [mm] \frac67 [/mm] und [mm] \frac57 [/mm] immer gleich bleiben! In der ersten Ziehung hab ich nur eine gelbe Karte. In der zweiten Ziehung, wenn ich die gelbe nicht bekommen hab, kommt eine weitere hinzu. Also hab ich doch gar keine 6 blauen (für [mm] \frac67) [/mm] zur Verfügung, sondern eben nur mehr [mm] \frac57 [/mm] und [mm] \frac47 [/mm] , oder?
Im Fall P(X=2) verstehe ich die erste Ziehung mit (g,g,b) noch. Die zweite Ziehung bereitet dann schon Problem. Warum ist kommt da dann auf einmal [mm] \frac27. [/mm] Bei der dritten Ziehung das gleiche: Warum auf einmal [mm] \frac27 \cdot \frac27? [/mm] Und insgesamt lässt mich bei diesem Fall die Frage nicht los, warum sich die Wahrscheinlichkeit eine blaue Karte zu erwischen nicht verändert, sondern immer bei [mm] \frac67 [/mm] bleibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Was ich im Fall P(X=1) nicht verstehe ist, warum [mm]\frac67[/mm]
> und [mm]\frac57[/mm] immer gleich bleiben! In der ersten Ziehung hab
> ich nur eine gelbe Karte. In der zweiten Ziehung, wenn ich
> die gelbe nicht bekommen hab, kommt eine weitere hinzu.
> Also hab ich doch gar keine 6 blauen (für [mm]\frac67)[/mm] zur
> Verfügung, sondern eben nur mehr [mm]\frac57[/mm] und [mm]\frac47[/mm] ,
> oder?
Nein, bei p(g,b,b) ziehe ich im ersten Zug eine gelbe Karte, also bleiben die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug gleich, da die gelbe Karte nicht ausgetauscht wird. Im zweiten Zug habe ich dann also die W-keit von 6/7, eine blaue Karte zu ziehen, die dann für den dritten Zug gegen eine gelbe Karte getauscht witd, also bleiben für den letzten Zug noch 5 von 7 blauen Karten.
>
> Im Fall P(X=2) verstehe ich die erste Ziehung mit (g,g,b)
> noch. Die zweite Ziehung bereitet dann schon Problem. Warum
> ist kommt da dann auf einmal [mm]\frac27.[/mm] Bei der dritten
> Ziehung das gleiche: Warum auf einmal [mm]\frac27 \cdot \frac27?[/mm]
Wenn im ersten Zug eine blaue Karte gezogen wird, wird diese für den zweiten Zug gegen eine gelbe ausgetauscht, damit bleiben für den zweiten Zug 2 von 7 gelbe Karten. Im zweiten Zug ziehst du eine gelbe Karte, diese wird nicht ausgetauscht, also bleiben im dritten Zug immer noch 2/7 gelbe Karten.
> Und insgesamt lässt mich bei diesem Fall die Frage nicht
> los, warum sich die Wahrscheinlichkeit eine blaue Karte zu
> erwischen nicht verändert, sondern immer bei [mm]\frac67[/mm]
> bleibt?
Weil du bis zu dem Zug, indem du eine blaue Karte ziehst, die Kartenverteilung nicht veränderst.
Lies dir die Spielregeln nochmal ganz genau durch, es wird nur dann etwas verändert, wenn du eine blaue Karte ziehst, dann wird diese durch eine gelbe Karte ersetzt. Also ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nur, wenn du im vorigen Zug eine blaue Karte gezogen hast.
Marius
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Lies dir die Spielregeln nochmal ganz genau durch, es wird nur dann etwas
> verändert, wenn du eine blaue Karte ziehst, dann wird diese durch eine gelbe
> Karte ersetzt. Also ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nur, wenn du im vorigen
> Zug eine blaue Karte gezogen hast.
Danke, da wars...
Noch eine Frage zum Erwartungswert:
Laut meiner Formelsammlung bzw. auch Wiki, gilt:
$E(X) = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) [/mm] = [mm] \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) [/mm] = -k [mm] \cdot \frac{120}{343} [/mm] +(k-2) [mm] \cdot \frac{180}{343} [/mm] + (k-5) [mm] \cdot \frac{6}{49} [/mm] + (k-100) [mm] \cdot \frac{1}{343} [/mm] = $
Ich habe irgendwie versucht, die Formel aus meiner FS anzuwenden und dabei a bissl was zusammengebastelt... Aber so richtig verstehen tu ich das selber nicht... Ab hier komm ich dann aber nicht mehr auf das was du mir aufgeschrieben hast. Mir fehlt einfach der Durchblick, dass ich da was g'scheides auf's Papier bringe. Ich hätte an dieser Stelle auch gar nicht gewusst, dass man mit dem Erwartungswert arbeiten muss geschweige denn, dass das darin befindliche [mm] x_i [/mm] mein "k" ist, welches er setzt bzw. k-2, k-5, k-100 ist.
Wenn ich es aber nun lese, erscheint es mir als "plausibel". Selber drauf kommen? Nie im leben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Lies dir die Spielregeln nochmal ganz genau durch, es wird
> nur dann etwas
> > verändert, wenn du eine blaue Karte ziehst, dann wird
> diese durch eine gelbe
> > Karte ersetzt. Also ändern sich die
> Wahrscheinlichkeiten nur, wenn du im vorigen
> > Zug eine blaue Karte gezogen hast.
>
> Danke, da wars...
Hätten wir das ja schonmal geklärt.
>
>
> Noch eine Frage zum Erwartungswert:
>
> Laut meiner Formelsammlung bzw. auch Wiki, gilt:
>
> [mm]E(X) = \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i = \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) = \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) = -k \cdot \frac{120}{343} +(k-2) \cdot \frac{180}{343} + (k-5) \cdot \frac{6}{49} + (k-100) \cdot \frac{1}{343} =[/mm]
>
> Ich habe irgendwie versucht, die Formel aus meiner FS
> anzuwenden und dabei a bissl was zusammengebastelt... Aber
> so richtig verstehen tu ich das selber nicht...
Versuche erstmal, die Aufgabenstellung vernüftig in Worte zu fassen, dann ist das Anwenden der Formel dann meist einfacher.
> Ab hier komm ich dann aber nicht mehr auf das was du mir
> aufgeschrieben hast. Mir fehlt einfach der Durchblick, dass
> ich da was g'scheides auf's Papier bringe. Ich hätte an
> dieser Stelle auch gar nicht gewusst, dass man mit dem
> Erwartungswert arbeiten muss geschweige denn, dass das
> darin befindliche [mm]x_i[/mm] mein "k" ist, welches er setzt bzw.
> k-2, k-5, k-100 ist.
Andersherum, Wenn du mit der Zufallsgröße den Gewinn des Spielers betrachten, musst du ja jeweils den Einsatz k subtrahieren.
>
> Wenn ich es aber nun lese, erscheint es mir als
> "plausibel". Selber drauf kommen? Nie im leben...
Das ist ein wenig Übung, die Formeln muss man sich dann der Aufgabenstellung entsprechend anpassen. Daher ist es auch immens wichtig, ein bisschen Text zu schreiben, und wie man sich für die Aufgabenstellug die Zufallsgrößen definiert. Die Formeln sind dann nur noch das "Beiwerk".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Nun ja dann probier ich es einfach mit ein bisschen Prosa:
Ich hab mir gedacht, dass ich mir sowas wie eine Werteliste mach:
i 0 1 2 3
[mm] x_i [/mm] -k k-2 k-5 k-100
p (hier die Wahrscheinlichkeiten geordnet)
$ E(X) = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) [/mm] = [mm] \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) [/mm] = -k [mm] \cdot \frac{120}{343} [/mm] +(k-2) [mm] \cdot \frac{180}{343} [/mm] + (k-5) [mm] \cdot \frac{6}{49} [/mm] + (k-100) [mm] \cdot \frac{1}{343} [/mm] = ... = [mm] \frac{103}{343}k [/mm] - [mm] \frac{673}{343}$
[/mm]
$E(X) = 0 [mm] \Leftrightarrow \frac{103}{343}k [/mm] - [mm] \frac{673}{343} [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] k = 6,53€$
Wär ein bisschen viel, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Nun ja dann probier ich es einfach mit ein bisschen Prosa:
Hehe
>
> Ich hab mir gedacht, dass ich mir sowas wie eine Werteliste
> mach:
>
> i 0 1 2 3
> [mm]x_i[/mm] -k k-2 k-5 k-100
> p (hier die Wahrscheinlichkeiten geordnet)
>
Fast, wenn du mit k den Einsatz des Spielers (in€) bezeichnest, bekommt er bei einer gelben Karte (2-k)€, bei zwei gelben Karten (5-k)€ und bei drei gelben Karten (100-k)€
> [mm]E(X) = \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i = \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) = \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) = -k \cdot \frac{120}{343} +(k-2) \cdot \frac{180}{343} + (k-5) \cdot \frac{6}{49} + (k-100) \cdot \frac{1}{343} = ... = \frac{103}{343}k - \frac{673}{343}[/mm]
Dementsprechnend gilt dann:
$E(X) = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) [/mm] = [mm] \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) [/mm] = -k [mm] \cdot \frac{120}{343} [/mm] +(2-k) [mm] \cdot \frac{180}{343} [/mm] + (5-k) [mm] \cdot \frac{6}{49} [/mm] + (100-k) [mm] \cdot \frac{1}{343} =\ldots$
[/mm]
>
> [mm]E(X) = 0 \Leftrightarrow \frac{103}{343}k - \frac{673}{343} = 0 \Leftrightarrow k = 6,53€[/mm]
> Wär ein bisschen viel, oder?
Das ist in der Tat sehr hoch. Das liegt an der Kleinigkein, dass du die Auszahlungen in der Reihenfolge verauscht hast.
Alles andere war korrekt.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 28.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Was müsste ich tun, wenn ich auf 's richtige Ergebnis mit der Anordnung kommen will, die ich hier jetzt aufgeschrieben habe, also: k-2, k-5, k-100?
Ist das grundsätzlich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Was müsste ich tun, wenn ich auf 's richtige Ergebnis mit
> der Anordnung kommen will, die ich hier jetzt
> aufgeschrieben habe, also: k-2, k-5, k-100?
>
> Ist das grundsätzlich falsch?
Das wäre auch ok, dann müsstest du das k bei X=0 aber positiv setzen, dann hättest du den Erwartungswert für den Gewinn der Bank.
Dann wäre:
> $ E(X) = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot p_i [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} x_i \cdot P(X=x_i) [/mm] = [mm] \sum_{0}^{3} \left( x_i \cdot P(X=i) \right) [/mm] = [mm] \red{+}k \cdot \frac{120}{343} [/mm] +(k-2) [mm] \cdot \frac{180}{343} [/mm] + (k-5) [mm] \cdot \frac{6}{49} [/mm] + (k-100) [mm] \cdot \frac{1}{343}=\ldots$
[/mm]
Marius
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