Kartenspiel San Juan < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 09:41 Mi 01.10.2014 | | Autor: | MarZ |
Hallo liebe Matheexperten,
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Ich habe eine Frage mit privater Motivation. Es geht um ein Kartenspiel: San Juan. Hier gibt es eine Gebäudekarte "Goldmine" die besagt, dass man vier Karten vom Nachziehstapel ziehen darf. Wenn die Karten vier verschiedene Baukosten besitzen, darf man eine der Karten behalten. Nun meine Frage wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Karte behalten darf?!
Ingesamt: 110 Karten
Baukosten: 1-6 auf den Karten (19x,26x,26x,17x,14x,8x)
Von den ganzen Besonderheiten, dass die Mitspieler eigentlich Handkarten haben und man die Sonderkarte vor sich liegen hat, also ebenfalls eine weitere Karte im Pool fehlt kann man denke ich erstmal absehen. Oder von der Situation das andere schon Karten gespielt haben und somit der Nachziehstapel kleiner ist usw.
Nun ist mir klar, dass das ja ein Ziehen ohne Zurücklegen bzw. Ziehen mit einem Griff ist. Pfadregel ist zu aufwändig, fällt also als Lösungsweg weg. Nun habe ich versucht mich zu informieren, wie ich die W´keit ausrechnen kann. Ich stoß dabei meist an Beispiele mit nur zwei verschiedenen "Kugelfarben", also bei bspw. dem Urnenmodell. Oder an Beispielen die gesagt haben "exakt 3 rote und 4 grüne Kugeln". Mein Problem handelt ja von "mindestens 2 gleiche" bzw. "vier verschiedene", also Ereignis bzw. Gegenereignis. Dieser Ansatz hat mir auch nicht geholfen.
Auf das Schlagwort "Multivariate hypergeometrische Verteilung" bin ich gestoßen? Ist das nicht meine Art von Problem? Stehe da irgendwie auf dem Schlauch das zu lösen :D Und das als gerade frischer Bachelor of Science(Maschinenbau) ^^
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Eigentliche Motivation war, dass ich gestern beim Spielen nur zwei mal von ca 15 mal vier eine Karte behalten durfte, also die Frage ob sich die "Goldmine" lohnt zu bauen ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 01.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo liebe Matheexperten,
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> "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt."
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> Ich habe eine Frage mit privater Motivation. Es geht um ein
> Kartenspiel: San Juan. Hier gibt es eine Gebäudekarte
> "Goldmine" die besagt, dass man vier Karten vom
> Nachziehstapel ziehen darf. Wenn die Karten vier
> verschiedene Baukosten besitzen, darf man eine der Karten
> behalten. Nun meine Frage wie hoch ist denn die
> Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Karte behalten darf?!
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> Ingesamt: 110 Karten
> Baukosten: 1-6 auf den Karten (19x,26x,26x,17x,14x,8x)
Hier würde ich erstmal die Wahrscheinlichkeiten berechnen, eine Karte mit den Baukosten 1, 2,.... zu ziehen.
- Eine Karte mit den Baukosten 1 ziehst du mit [mm] p_{1}=\frac{19}{110}
[/mm]
- Eine Karte mit den Baukosten 2 ziehst du mit [mm] p_{2}=\frac{26}{110}
[/mm]
- Eine Karte mit den Baukosten 3 ziehst du mit [mm] p_{3}=\frac{26}{110}
[/mm]
- Eine Karte mit den Baukosten 4 ziehst du mit [mm] p_{4}=\frac{17}{110}
[/mm]
- Eine Karte mit den Baukosten 5 ziehst du mit [mm] p_{5}=\frac{14}{110}
[/mm]
- Eine Karte mit den Baukosten 6 ziehst du mit [mm] p_{6}=\frac{8}{110}
[/mm]
Sicher wirst du das nicht exakt abbilden, denn aus eigener Erfahrung mit dem Spiel weiss ich, dass am Anfang eher die kleinen, billigen gebäude gebaut werden, und die großen dann überproportional häuft wieder eingemischt werden.
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> Von den ganzen Besonderheiten, dass die Mitspieler
> eigentlich Handkarten haben und man die Sonderkarte vor
> sich liegen hat, also ebenfalls eine weitere Karte im Pool
> fehlt kann man denke ich erstmal absehen. Oder von der
> Situation das andere schon Karten gespielt haben und somit
> der Nachziehstapel kleiner ist usw.
>
> Nun ist mir klar, dass das ja ein Ziehen ohne Zurücklegen
> bzw. Ziehen mit einem Griff ist. Pfadregel ist zu
> aufwändig, fällt also als Lösungsweg weg. Nun habe ich
> versucht mich zu informieren, wie ich die W´keit
> ausrechnen kann. Ich stoß dabei meist an Beispiele mit nur
> zwei verschiedenen "Kugelfarben", also bei bspw. dem
> Urnenmodell. Oder an Beispielen die gesagt haben "exakt 3
> rote und 4 grüne Kugeln". Mein Problem handelt ja von
> "mindestens 2 gleiche" bzw. "vier verschiedene", also
> Ereignis bzw. Gegenereignis. Dieser Ansatz hat mir auch
> nicht geholfen.
>
> Auf das Schlagwort "Multivariate hypergeometrische
> Verteilung" bin ich gestoßen? Ist das nicht meine Art von
> Problem? Stehe da irgendwie auf dem Schlauch das zu lösen
> :D Und das als gerade frischer Bachelor of
> Science(Maschinenbau) ^^
Das ist sicher eine mögliche Herangehensweise.
Das Problem ist aber, dass die Baukosten nicht gleichverteilt sind, daher musst du hier schon ganz schön "basteln".
Dafür hätte ich folgenden Ansatz:
Du kannst ja mit der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeiten berechnen, in den Vier Zügen genau eine Karte mit Baukosten 1 zu ziehen.
Das ganze kannst du ja auch für die anderen Kartenkosten machen.
Meiner Meinung nach müsstest du dann die [mm] {6\choose4} [/mm] also 15 Möglichkeiten herausfinden, die je vier verschiedene Baukosten haben, und diese Wahrscheinlichkeiten dann multiplizieren
Am Ende addiere dann diese 15 Werte.
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> Vielen Dank für eure Hilfe :)
Vielleicht hat jemand anders noch eine Idee, daher stelle ich die Frage mal auf "Umfrage".
>
> Eigentliche Motivation war, dass ich gestern beim Spielen
> nur zwei mal von ca 15 mal vier eine Karte behalten durfte,
> also die Frage ob sich die "Goldmine" lohnt zu bauen ^^
Intuitiv würde ich sagen, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch in diesem Wertebereich [mm] \frac{2}{15}\approx\frac{1}{6} [/mm] zu suchen ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mi 01.10.2014 | | Autor: | MarZ |
Vielen Dank für die schnellen und denke ich mal kompetenten Antworten :D
Bin überrascht, dass das so schnell ging und Interesse besteht, dass Problem zu lösen! Vielen Dank nochmal!
Dachte das Problem könnte "einfacher" bestimmt werden. Also war ich doch nicht so falsch, dass man schon etwas tüpfteln muss um auf ein Ergebnis zu kommen. Aus dem Bauchgefühl hätte ich jetzt auch gesagt 15-25% werden es schon sein.
Anmerkung am Rande: Der Aufbau vom Forum ist nicht gerade eingängig und intuitiv. Bis man hier das richtige Knöpfchen findet muss man schon suchen, bspw. eine simple Antwort schreiben zu können. =(
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Da ich auch gerne SJ spiele, finde ich die Fragestellung durchaus interessant. Ich komme allerdings zu einem anderen Ergebnis als Rex, dazu gleich mehr. Zunächst ein Wort zu den Vorbedingungen: Angenommen habe ich einfach mal, dass noch keine Karten ausliegen bzw die ausliegenden Karten (und die auf der Hand) keine Berücksichtigung finden. Ich denke es ist klar, dass die Mine stärker ist ist, je früher sie gebaut wird. Und auch Rex Überlegung hat gewiss Einfluss auf die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Es ist quasi aber unmöglich das alles mit einfließen zu lassen in eine Berechnung.
Nun zu meinem Ansatz:
Wie Rex bereits gesagt hat, gibt es 15 Möglichkeiten, durch die Goldmine an eine Karte zu gelangen. Ich habe nun alle 15 Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet, indem ich für jede Möglichkeit zunächst eine bestimmte Zugreihenfolge angenommen habe und anschließend mit 24 (Anzahl der möglichen Permutationen) multipliziert habe. Anschließend dann über alle Wahrscheinlichkeiten summiert.
Beispiel für die Kombination 1234:
[mm]p(1)*p(2)*p(3)*p(4)*24 \approx 0.0378[/mm]
Führe ich das für alle 15 Möglichkeiten durch und addiere anschließend die Wahrscheinlichkeiten, so kommt rund 25% raus.
Dazu aber noch eine Anmerkung: Folgende Annahmen kann man jedoch guten Gewissens treffen, da sie regelbedingt bei jedem Spiel vorhanden ist: Jeder Spieler hat zu Beginn eine Indigoküpperei ausliegen, was somit die Anzahl der Karten mit Wert 1 um 1 pro Spieler verringert. Dadurch ergeben sich auch andere Wahrscheinlichkeiten. Ebenso ist durch die Goldmine(des Spielers) eine weitere 1er Karte aus dem Rennen. Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
Bei 2 Spielern: [mm]\approx 26,42\%[/mm]
Bei 3 Spielern: [mm]\approx 26,90\%[/mm]
Bei 4 Spielern: [mm]\approx 27,38 \%[/mm]
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