Kann in Körper a+a=a gelten? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper, e das neutrale Element in K.
Gibt es ein [mm] a\in [/mm] K mit [mm] a\neq [/mm] e und a+a = a? |
Hallo liebes Forum,
Für einen umfangreicheren Beweis brauche ich den Nachweis, daß in einem Körper K o.g. Aussage gilt. Ich bin mir dabei aber nichtmal sicher, ob dem wirklich so ist.
Meine Frage ist, ob es prinzipiell ein Element ungleich e in einem Koerper geben kann, das mit sich selbst addiert gleich bleibt? Aus welchem Körperaxiom kann man das ggf. folgern?
Danke!! 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Astor |
Wie lautet die exakte Definition eines Körpers?
Das neutrale Element ist eindeutig.
Also gibt es kein Element a aus K mit a+a=a. Falls a ungleich e.
Bitte nachsehen in Definition eines Körpers.
Astor
|
|
|
| |
|
Hallo,
- Stimmt, war ein Denkfehler meinerseits. Eigentlich klar, wobei die Eindeutigkeit des neutralen Elementes (bzgl. Addition) ja nicht direkt in der Definition steht, sondern aus den Körper- bzw. Gruppenaxiomen gefolgert wird.
Man koennte auch im Falle [mm] a\in [/mm] K mit a + a = a und [mm] a\neq [/mm] e schreiben:
a = a + a = a [mm] \cdot [/mm] 1 + a [mm] \cdot [/mm] 1 = a(1 + 1) [mm] \Rightarrow [/mm] 1 + 1 = 1 = 1 + 0, also 1 = 0
(Widerspruch, da 0 [mm] \neq [/mm] 1 (was auch leicht zu zeigen ist)).
Danke!!
|
|
|
|
