Kaninchenfamilie < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Die ungestörte Vermehrung einer glücklichen Kaninchenfamilie lässt durch die Differentialgleichung y´(x) = c * y(x) beschreiben, wobei y(x) die Größe der Populationen, und y´(x) der Zuwachs zum Zeitpunkt x ist. Sogar in Australien war für die Kaninchen irgendwann das Ende der Fahnenstange erreicht: Dieses gebremste Wachstum lässt sich durch folgende Differentialgleichung beschreiben:
y´(x) = [mm] \alpha [/mm] * y(x) * (1 - [mm] \beta [/mm] * y(x)) |
Bitte hier auch um Hilfe! :-( Diese Differentialgleichungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Die ungestörte Vermehrung einer glücklichen
> Kaninchenfamilie lässt durch die Differentialgleichung
> y´(x) = c * y(x) beschreiben, wobei y(x) die Größe der
> Populationen, und y´(x) der Zuwachs zum Zeitpunkt x ist.
> Sogar in Australien war für die Kaninchen irgendwann das
> Ende der Fahnenstange erreicht: Dieses gebremste Wachstum
> lässt sich durch folgende Differentialgleichung
> beschreiben:
>
> y´(x) = [mm]\alpha[/mm] * y(x) * (1 - [mm]\beta[/mm] * y(x))
> Bitte hier auch um Hilfe! :-( Diese
> Differentialgleichungen!
Hilfe wobei?
Bei gestressten Sek-1-Schülern sehe ich noch ein, dass sie vor lauter Verzweifelung vergessen, eine Frage konkret zu formulieren.
Aber Studenten...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Was soll ich machen, wenn ich bei diesen Aufgaben keine Zugang habe!
Hilfe wäre zB:
- Wie gehe ich ran, was filtere ich raus, was wichtig, was nicht!
- Benötige ich nur die Gleichung für das gebremste Wachstum oder hat auch die andere Diferentialgleichung für mich Bedeutung?
- Was ist der nächste Punkt!
Einfach ein Shema für das Herangehen an solche Beispiele!
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Hallo!
> Was soll ich machen, wenn ich bei diesen Aufgaben keine
> Zugang habe!
>
> Hilfe wäre zB:
> - Wie gehe ich ran, was filtere ich raus, was wichtig, was
> nicht!
>
> - Benötige ich nur die Gleichung für das gebremste
> Wachstum oder hat auch die andere Diferentialgleichung für
> mich Bedeutung?
>
> - Was ist der nächste Punkt!
>
> Einfach ein Shema für das Herangehen an solche Beispiele!
Ist das, was du gepostet hast, eine Aufgabe? Wie lautet die Fragestellung dieser Aufgabe.
Bis jetzt wirkt es auf uns wie ein Lexikonartikel. Möchtest du erklärt haben, wie man so etwas gründlich durcharbeitet?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ja die Aufgabe ist so gegeben und unten steht dann nur dabei lösen Sie die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y0
Habe ich das vergessen dazu zu schreiben?
Ja, es wäre super, wenn ich weiß wie ich da dran gehe und das gründlich durcharbeite!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Sorry, habe gerade nachgesehen, habe doch wirklich glatt die Fragestellung vergessen! Sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja die Aufgabe ist so gegeben und unten steht dann nur
> dabei lösen Sie die Differentialgleichung mit der
> Anfangsbedingung y(0) = y0
>
> Habe ich das vergessen dazu zu schreiben?
>
> Ja, es wäre super, wenn ich weiß wie ich da dran gehe und
> das gründlich durcharbeite!
>
Trennung der Variablen wäre wohl angebracht
>
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Hallo!
> - Benötige ich nur die Gleichung für das gebremste
> Wachstum oder hat auch die andere Diferentialgleichung für
> mich Bedeutung?
Das kommt darauf an, wie die Aufgabe gestellt ist. Wenn da steht, man solle beide DGL's mit der Anfangsbedingung y(0) = [mm] y_{0} [/mm] lösen, solltest du es auch für beide tun.
So, "herauszufiltern" gibt es hier nicht besonders viel. Die beiden DGL's wurden notwendigerweise in eine Pseudo-Sachaufgabe gepresst, wie du aber siehst, wird im weiteren gar nicht mehr darauf eingegangen, dass y ursprünglich Kaninchen sein sollten...
Du hast einfach ein Anfangswertproblem mit der DGL 1:
$y'(x) = c*y(x)$
und der Anfangsbedingung $y(0) = [mm] y_{0}$. [/mm] Löse die DGL mit Trennung der Variablen, das sollte dir ein Begriff sein.
2. Aufgabe analog: Du hast die DGL
$y'(x) = [mm] \alpha*y(x)*(1-\beta*y(x))$
[/mm]
mit Anfangsbedingung $y(0) = [mm] y_{0}$. [/mm] Auch hier geht wieder Trennung der Variablen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ok, vielen Dank! Ja Trennung der Variablen!
Das heisst:
y´(x) = c * y(x)
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = c * y(x)
Aber wie separiere ich jetzt y(x) ?
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Hallo andi7987,
> Ok, vielen Dank! Ja Trennung der Variablen!
>
> Das heisst:
>
> y´(x) = c * y(x)
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = c * y(x)
>
> Aber wie separiere ich jetzt y(x) ?
So:
[mm]\bruch{dy}{y} = c \ dx[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Super danke! Und wo ist das (x) von y(x) hingekommen?
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Hallo!
> Super danke! Und wo ist das (x) von y(x) hingekommen?
y ist eine Funktion, die von x abhängt. Deswegen schreibt man y(x). Wenn du mit DGL's rechnest, schreibst du aber meist nur y. Es ist klar, dass damit eigentlich y(x) gemeint ist.
Mit "Trennen" ist gemeint, dass du auf der linken Seite nur noch y'(x) stehen hast und die rechte Seite der DGL so faktorisieren kannst, dass in einem Faktor nur noch x und in dem anderen nur noch y auftauchen - y(x) zählt in diesem Fall nicht als Term mit x !
Deswegen ist durch
y' = c*y
schon eine vollständige Trennung gelungen!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Vor allem, dann gehts ja so weiter, oder?
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = c * y(x)
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = c * dx
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{c dx}
[/mm]
ln |y| + c = 0
Passt des so? Vor allem, wenn es passt, was ist jetzt zu tun?
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Hallo!
> Vor allem, dann gehts ja so weiter, oder?
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = c * y(x)
>
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = c * dx
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{c dx}[/mm]
>
> ln |y| + c = 0
Der letzte Schritt ist nicht okay. Wenn du die linke Seit integrierst, erhältst du [mm] \ln(|y|), [/mm] wenn du die rechte Seite integrierst, erhältst du aber $c*x$ ! Außerdem musst du auf eine der beiden Seiten noch eine Integrationskonstante hinzufügen, damit du dann deine Anfangsbedingung überhaupt benutzen kannst!
Also:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{c dx}[/mm]
[mm]\gdw \ln(|y|) = c*x+D[/mm]
mit [mm] $D\in\IR$. [/mm] Nun als nächstes nach y umstellen, also praktisch die Funktion [mm] y_{D}(x) [/mm] bestimmen. Du darfst zur Vereinfachung den Betrag weglassen.
Wenn du dann die Funktion [mm] y_{D}(x) [/mm] bestimmt hast, musst du die Anfangsbedingung benutzen, du erhältst mit
[mm] y_{D}(0) [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
eine Gleichung für D. Damit bestimmst du D und erhältst dann die gesuchte Lösung y(x).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 16.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke bisher! Wenn ich jetzt nach y umstelle!
Dann muss ich ja alles mit e multiplizieren, oder?
ln|y| + c = c*x + d / *e
[mm] e^{ln |y|} [/mm] * [mm] e^{c} [/mm] = [mm] e^{c*x} [/mm] + [mm] e^{d}
[/mm]
y * [mm] e^{c} [/mm] = [mm] e^{c*x} [/mm] + [mm] e^{d}
[/mm]
y = [mm] \bruch{e^{c*x} + e^{d} }{e^{c}}
[/mm]
Ist das so richtig? Oder habe ich komplett falsch gemacht?
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Hallo andi7987,
> Danke bisher! Wenn ich jetzt nach y umstelle!
>
> Dann muss ich ja alles mit e multiplizieren, oder?
>
> ln|y| + c = c*x + d / *e
>
> [mm]e^{ln |y|}[/mm] * [mm]e^{c}[/mm] = [mm]e^{c*x}[/mm] + [mm]e^{d}[/mm]
Auf der rechten Seite hast Du die
Logarithmusgesetze nicht richtig angewandt:
[mm]e^{c*x+d}=e^{d}*e^{cx}=\tilde{d}e^{c*x}[/mm]
,wobei [mm]\tilde{d}:=e^{d}[/mm]
>
> y * [mm]e^{c}[/mm] = [mm]e^{c*x}[/mm] + [mm]e^{d}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{e^{c*x} + e^{d} }{e^{c}}[/mm]
>
> Ist das so richtig? Oder habe ich komplett falsch gemacht?
>
>
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ich möchte mich bei allen sehr herzlich für die Hilfe bedanken!
Ich habe das Problem lösen können!
Wenn es interessiert poste ich die Lösung in den nächsten Tagen!?
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