Känguru-Aufgabe: 7./8. Schuljahr < Känguru < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:01 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Welches ist die maximale Anzahl von Zahlen, die man aus der Menge [mm]S=\{1,2,\ldots,25\}[/mm] herausgreifen kann derart, dass die Summe von je zwei Zahlen nicht durch 3 teilbar ist?
Viel Spaß!! 
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Do 11.03.2004 | | Autor: | Nalath |
(Die Antwort ist falsch. Die richtige Antwort findet man hier:
https://matheraum.de/read?f=26&t=123&i=232
und hier die Begründung:
https://matheraum.de/read?f=26&t=123&i=238).
Hallo!
Ich habe mal wieder alles durchgerechnet... Hat zwar lange gedauert, aber immerhin bin zu einem ergebnis gekommen.
Also es können immer 9 Zahlen herausgegriffen werden, so dass keine dieser neun Zahlen mit einer anderen dieser neun Zahlen zu einem Vielfachen von drei addiert werden kann.
Ich weiß nicht genau ob, es überhaupt die Aufgabenstellung war das herauszufinden. Hoffe ich habe es richtig verstanden.
Grüße,
Nalath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 11.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath,
gefragt war ja nach der maximalen Anzahl an Zahlen, die man herausnehmen kann, so dass die Summe je zweier dieser Zahlen nicht durch [mm]3[/mm] teilbar ist. Die Antwort [mm]9[/mm] ist hier leider falsch. Es sind mehr.
Wer möchte einen neuen Tipp abgeben? Und nennt dann bitte die Zahlen, für die das zutrifft!
Vielleicht könnt ihr auch eine Begründung angeben?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 16.03.2004 | | Autor: | Niob |
(Die Antwort ist falsch. Die richtige Antwort findet man hier:
https://matheraum.de/read?f=26&t=123&i=232
und hier die Begründung:
https://matheraum.de/read?f=26&t=123&i=238).
Guten Abend zusammen
Ich habe die Frage so verstanden, dass ich aus der Menge $S = [mm] \{1, 2,...,25\}$ [/mm] so viele Zahlen raussuchen muss, deren Summe nicht durch 3 teilbar ist. Ich habe es außerdem so verstanden, dass man jede Zahl nur einmal "verwenden" darf, oder?
So ist mein Ergebnis: $24$ Zahlen konnte ich addieren, wobei das jeweilige Ergebnis nicht durch drei teilbar ist.
z.B.:
$3 + 4 = 7$
$5 + 6 = 11$
$9 + 10 = 19$
[mm] $\ldots$
[/mm]
(oder soll ich alle Zahlen mal aufschreiben?)
$25$ als Ergebnis geht jedenfalls nicht, da diese Zahl ungerade ist.
Jetzt bin ich mal gespannt, was ich richtig/falsch gemacht habe 
Gruß, Niob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 16.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob!
Du hast die Aufgabe nicht ganz richtig verstanden.
Du sollst Zahlen so rausnehmen, dass die Summe von je zwei solcher Zahlen nicht durch [mm]3[/mm] teilbar ist.
> $3 + 4 = 7$
> $5 + 6 = 11$
> $9 + 10 = 19$
> [mm] $\ldots$
[/mm]
> (oder soll ich alle Zahlen mal aufschreiben?)
Dann hättest du zum Beispiel auch die $3$ und die $9$ herausgenommen, aber $3+9=12$ ist ja durch $3$ teilbar.
Also: Beliebige Summen der ausgewählten Zahlen dürfen nicht durch [mm]3[/mm] teilbar sein.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 16.03.2004 | | Autor: | Niob |
Ok, jetzt habe ich es glaube ich verstanden :-D
Wie sieht es mit der Zahl $16$ aus?
$1 + 7 = 8$
$2 + 8 = 10$
$4 + 22 = 26$
$5 + 23 = 28$
$10 + 11 = 21$
$13 + 19 = 32$
$14 + 20 = 34$
$16 + 17 = 33$
Gruß, Niob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 16.03.2004 | | Autor: | Niob |
Jetzt muss ich zu meinem eigenen Post noch eine Frage stellen:
Ich habe ja jetzt z.B. die Zahlen $1$ und $8$ genommen, zusammen ergibt es $9$, und diese Zahl ist wiederum durch drei teilbar, also ist das wieder nicht korrekt, oder? (Probiere ich mal schnell weiter)
Gruß, Niob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Di 16.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob!
Stimmt, das war in vielerlei Hinsicht nicht korrekt. Schön, dass du es selber noch gemerkt hast.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 16.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob!
> Ok, jetzt habe ich es glaube ich verstanden :-D
Ich fürchte nicht. (Macht aber nichts... )
> Wie sieht es mit der Zahl $16$ aus?
Gar nicht gut.
> $1 + 7 = 8$
> $2 + 8 = 10$
> $4 + 22 = 26$
> $5 + 23 = 28$
> $10 + 11 = 21$
> $13 + 19 = 32$
> $14 + 20 = 34$
> $16 + 17 = 33$
Das verstehe ich nicht. Erstens betrachtest du nicht alle möglichen Summen von je zwei Elementen und zweitens sind einige davon doch durch [mm]3[/mm] teilbar.
Ich mache dir es mal an einem Beispiel vor: Nehmen wir mal an wir hätten die Menge [mm]\{1,2,3,4,5,6\}[/mm] und sollten Elemente so wählen, dass die Summe je zweier solcher Elemente nicht durch [mm]3[/mm] teilbar ist. Dann wäre zum Beispiel [mm]\{1,3,4\}[/mm] eine geeignete Auswahl, denn alle Summen je zweier Elemente dieser Menge sind nicht durch [mm]3[/mm] teilbar:
[mm]1+3=4[/mm]
[mm]1+4=4[/mm]
[mm]3+4=7[/mm].
Jetzt müsste man sich noch überlegen, dass diese Anzahl (drei Elemente) maximal ist. Aber wenn ich dir diese Überlegung poste, dann weißt du sofort, wie die eigentliche Aufgabe zu lösen ist. Ich will dich aber noch ein wenig knobeln lassen.
Hast du die Aufgabenstellung jetzt verstanden?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 16.03.2004 | | Autor: | Niob |
Also, Versuch 3:
Bitte vergesst alle anderen Posts von mir :-D
Ich habe jetzt die Zahlenmenge: [mm] $S=\{1,3 ,4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25\}$ [/mm] raus.
Also $10$ Zahlen, die zusammen jeweils nicht durch 3 teilbar sind.
Dies habe ich jetzt nur durch probieren herausbekommen, ich weiß mal wieder nicht, ob und wie dies rechnerisch zu lösen ist.
Gruß, Niob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob!
Deine Antwort ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich werde dir demnächst eine ausführliche Begründung schreiben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 18.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob,
ich will noch einmal kurz eine Begründung zu deiner Lösung nachschieben:
Klar ist:
Es gibt drei Arten von natürlichen Zahlen:
1) Zahlen, die durch [mm]3[/mm] teilbar sind, also bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]0[/mm] lassen, also in der Form [mm]3n[/mm] darstellbar sind,
2) Zahlen, die bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lassen, also in der Form [mm]3n+1[/mm] darstellbar sind,
3) Zahlen, die bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]2[/mm] lassen, also in der Form [mm]3n+2[/mm] darstellbar sind.
Wenn man nun in der betreffenden Menge zwei Zahlen hat, die durch [mm]3[/mm] teilbar sind, dann ist auch deren Summe durch [mm]3[/mm] teilbar. Daher kann es in der betreffenden Menge höchstens ein Element geben, dass durch [mm]3[/mm] teilbar ist.
Gibt es in der betreffenden Menge ein Element, dass bei der Divisison durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lässt (d.h. das von der Form [mm]3n+1[/mm] ist) und ein weiteres Element, dass bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]2[/mm] lässt (d.h. das von der Form [mm]3n'+2[/mm] ist), dann ist deren Summe wegen
[mm](3n+1) + (3n'+2) = 3(n+n'+1)[/mm]
durch [mm]3[/mm] teilbar.
Man überlegt sich in ähnlicher Art und Weise, dass
- die Summe eines Elementes, das durch [mm]3[/mm] teilbar ist und einem Element, das bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lässt,
- die Summe eines Elementes, das durch [mm]3[/mm] teilbar ist und einem Element, das bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]2[/mm] lässt,
- die Summe zweier Elemente, die bei der Division durch [mm]3[/mm] jeweils den Rest [mm]1[/mm] lassen,
- die Summe zweier Elemente, die bei der Division durch [mm]3[/mm] jeweils den Rest [mm]2[/mm] lassen,
alle jeweils nicht durch [mm]3[/mm] teilbar sind.
Daher besteht die größtmögliche Menge
- entweder aus allen Zahlen, die bei Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lassen plus einem Element, das durch [mm]3[/mm] teilbar ist
- oder aus allen Zahlen, die bei Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]2[/mm] lassen plus einem Element, das durch [mm]3[/mm] teilbar ist.
In diesem Fall hier gibt es mehr Zahlen, die bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lassen als Zahlen, die bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]2[/mm] lassen.
Daher besteht die gesuchte maximale Menge aus allen Zahlen, die bei der Division durch [mm]3[/mm] den Rest [mm]1[/mm] lassen plus einem Element, dass durch [mm]3[/mm] teilbar ist.
Eine solche Menge hast du angegeben.
Liebe Grüße
Stefan
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