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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 21.02.2010 | | Autor: | aniya |
| Aufgabe | Unter bestimmten Beingungen legen die Weibchen (W) der Käferart 500Eie(E), von denen sich innerhalb eines Monats ein Viertel zu Larven(L) entwickelt. 10%der Larven verpuppen sich (P) wiederum innerhalb eines Monats. Die übrigen Eier und Larven werden gefressen pder sterben ab. Aus etwas 40% der Puppen entwickeln sich nach einem Monat Weibchen, die übrigen Puppen werden zu Männchen.
a) Geben sie die zugehörige Übergangsmatrix A an.
b) Aus einer Pflanze werden 4Weibchen, 120 Eier,200Larven und 28 Puppen entdeckt.
Untersuchen sie die Population nach 4 Monaten.
c) Untersuchen sie, ob es eine Verteilung gibt, die im nachfolgenden Monat wieder zu derselben Verteilung führt.
d) Die langfristige Entwicklung der Population lässt sich am besten beurteilen, wenn man einen 4 - Monats Zyklus betrachtet.
Begründen Sie warum man dies am besten an der Matrixpotenz [mm] A^4 [/mm] ablesen kann. Beschreieben sie dann die langfristige Entwicklung einer beliebeigen Anfangspopulation im 4 Monats Rhytmus nach dem gegebenen Modell. Begründen Sie Warum man von einer exponentiellen Entwicklung sprechen könnte. |
Hallo,
ihr habt bestimmt die Aufgabenstellungen gelesen. Irgenwie hab ich es nur bis b) geschafft weiter konnt ich einfach nicht.. Könnt ihr mir vielleicht helfen=)
hab schonmal meine Lösungen:
a) [mm] \pmat{0&0&0&500\\0.25&0&0&0\\0&0.1&0&0\\0&0&0.4&0}
[/mm]
Das ist die Übergangsmatrix A
b) 4 Weibchen, 120 Eier, 200 Larven und 28Puppen
nach 4 Monaten sieht die Verteilung so aus
ich hoffe das es auch richtig ist...^^
v4= (600/1000/140/20)
Weiter weiß ich einfach nicht weiter
aber der Ansatz ist doch
A * (x1/x2/x3/x4) = (x1/x2/x3/x4)
dann hab ich 4 Gleichungen die sind:
1. 500x4 = x1
2. 0,25x1= x2
3. 0,1x2= x3
4. 0,4x3= x4
jez muss ich ja eig das gleichungssystem auflösen das krieg ich einfach nicht hin..
meine lehrerin meinte auch das ich x4 = t setzen kann
dann hab
500t = x1 für t setze ich 0,4x3 ein
500*0,4x3 = x1
200x3 = x1
200x3=500t für x3 setze ich 0,1x2
200*0,1x2= 500t
x2 = 2,5t
0,1x2= x3 für x2 setze ich 2,5t
0,1*2,5 t =x3
0,25= x3
Dann habe ich folgendes raus:
x1= 500t
x2= 2,5t
x3 = 0,25t
x4=t
so jez weiß ich nicht ob das so richtig ist oder falsch ist.
Könnt ihr mir vielleicht BITTTE helfen.
vielen dank schonmal...=)
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Hallo!
Gleich zur Vorwarnung: Ich habe sehr wenig Ahnung von solchen Prozessen, meine aber trotzdem etwas sagen zu können.
> Hallo,
> ihr habt bestimmt die Aufgabenstellungen gelesen. Irgenwie
> hab ich es nur bis b) geschafft weiter konnt ich einfach
> nicht.. Könnt ihr mir vielleicht helfen=)
> hab schonmal meine Lösungen:
> a) [mm]\pmat{0&0&0&500\\0.25&0&0&0\\0&0.1&0&0\\0&0&0.4&0}[/mm]
>
> Das ist die Übergangsmatrix A
Dein Eingangsvektor hat also die Form:
[mm] \vektor{Eier\\Larven\\Puppen\\Weibchen}
[/mm]
Ich hatte, als ich die Aufgabe mir erstmal selbst angeschaut hatte, noch eine "1" an einer Stelle der Matrix:
[mm]\pmat{0&0&0&500\\0.25&0&0&0\\0&0.1&0&0\\0&0&0.4&1}[/mm]
Es wird ja nirgendswo gesagt, dass die schon vorhandenen Weibchen sterben.
Das ist meine Meinung, weiß aber nicht ob das in solchen Prozessen anders gehandhabt wird.
> b) 4 Weibchen, 120 Eier, 200 Larven und 28Puppen
> nach 4 Monaten sieht die Verteilung so aus
> ich hoffe das es auch richtig ist...^^
> v4= (600/1000/140/20)
Naja, du musst eben [mm] $A^{4}*\vektor{120\\200\\28\\4}$ [/mm] rechnen.
c)
> Weiter weiß ich einfach nicht weiter
> aber der Ansatz ist doch
> A * (x1/x2/x3/x4) = (x1/x2/x3/x4)
> dann hab ich 4 Gleichungen die sind:
> 1. 500x4 = x1
> 2. 0,25x1= x2
> 3. 0,1x2= x3
> 4. 0,4x3= x4
Genau, ausgehend von deiner Matrix musst du genau dieses LGS lösen.
Das hat aber nur die Lösung x1 = x2 = x3 = x4 = 0.
Der Zustand bleibt also bei deiner Matrix nur erhalten, wenn alle Ausgangswerte 0 sind.
> jez muss ich ja eig das gleichungssystem auflösen das
> krieg ich einfach nicht hin..
> meine lehrerin meinte auch das ich x4 = t setzen kann
> dann hab
> 500t = x1 für t setze ich 0,4x3 ein
> 500*0,4x3 = x1
> 200x3 = x1
>
> 200x3=500t für x3 setze ich 0,1x2
> 200*0,1x2= 500t
> x2 = 2,5t
>
> 0,1x2= x3 für x2 setze ich 2,5t
> 0,1*2,5 t =x3
> 0,25= x3
>
> Dann habe ich folgendes raus:
> x1= 500t
> x2= 2,5t
> x3 = 0,25t
> x4=t
Kann sein, dass das stimmt. Mach' es doch aber nicht so umständlich. Schau, wegen der ersten Gleichung ist
500x4 = x1.
Wegen der zweiten Gleichung 0.25*x1 = x2 erhältst du x2 = 0.25*x1 = 0.25*500*x4 = 125*x4.
Wegen der dritten Gleichung erhältst du x3 = 12.5*x4.
Und wegen der vierten: $x4 = 0.4*x3 = 0.4*12.5*x4 = 5*x4$.
x4 muss also gleich 5*x4 sein, damit das Gleichungssystem geloest wird. Das geht nur wenn x4 = 0. Dann folgt schnell, dass auch alle anderen 0 sein müssen.
Zu d)
Wenn v dein Eingangsvektor mit den Daten über die Weibchen, Larven usw. ist, und du wendest darauf A an, berechnest also A*v, dann erhältst du die Anzahlen der Weibchen, Larven usw. nach einem Monat.
Wendest du A viermal an, berechnest also $A*(A*(A*(A*v)))) = [mm] A^{4}*v$ [/mm] (*), erhältst du die Daten nach vier Monaten. Du kannst also praktisch einfach einmal [mm] A^{4} [/mm] berechnen und die Ergebnismatrix dann immer dazu benutzen, um sofort die Populationsdaten nach 4 Monaten zu erhalten.
So blöd es klingt, aber die obige Gleichung (*) ist im Grunde die "Lösung" für diese Aufgabe, weil du das eben so umschreiben kannst.
Für die weitere Beantwortung der Aufgabenstellung solltest du erstmal [mm] A^{4} [/mm] ausrechnen.
Es kommt eine schöne Matrix heraus, nur mit "5". Im 4-Monatszyklus sieht es dann also so aus, dass jeder Wert, egal ob Weibchen, Larve, Ei oder sonstwas mit 5 multipliziert wird.
Die Begründung für das exponentielle Wachstum sollte dann nicht mehr so schwer fallen.
Grüße,
Stefan
PS.: Meine anfängliche Idee mit der "1" bei den Weibchen in der Matrix taugt wahrscheinlich nichts, also deine Matrix ist wahrscheinlich richtig.
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