K Kugeln auf N Fächer < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 17.12.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
In einem anderen Thread entstand eine Frage, die nicht geklärt werden konnte.
Vorgeschichte:
K Kugeln werden zufällig und auf N Fächer gleichverteilt. In den Fächern können also 0, 1, 2,...,K Kugeln zu liegen kommen. Wie groß muss danach die Stichprobe von zufällig entnommenen Fächern sein, damit man mit einer Sicherheit von mind. 95% mind. eine Kugel dabei hat?
Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür, dass im ersten Teil des Zufallsexperiments in genau [mm] k\le [/mm] Min(K,N) Fächern mind. eine Kugel liegt?
Mein erster Ansatz war, dass also erst einmal k Kugeln (je eine in eins der k Fächer) in k Fächer kommen. Von den Fächern her sind das
[mm] \vektor{N \\ k} [/mm] Möglichkeiten. Von den Kugeln her sind es
[mm] \vektor{K \\ k} [/mm] Möglichkeiten, die auf k! Arten angeordnet werden können.
Verbleiben noch K-k Kugeln die beliebig auf die k Fächer verteilt werden dürfen. Das sind [mm] k^{K-k} [/mm] Möglichkeiten. Leider paßt das ganze aber nicht. Ich vermute, dass dass die Einzelschritte (erst mal je eine in k Fächer und dann die restlichen Kugeln) nicht unabhängig sind und deshalb nicht faktorisierbar sind).
Wer kann helfen?
LG
gfm
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 21.12.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo gfm
Ich glaube es geht viel einfacher, wenn man die Gegenwahrscheinlichkeit anschaut. Ziehe zufällig r Fächer. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Kugel in diesen r Fächern ist.
Für jede Kugel ist die Wahrscheinlichkeit, [mm] $\frac{n-r}n$, [/mm] dass sie nicht in den r Fächern ist. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $\left(\frac{n-r}n\right)^k$, [/mm] dass keine der k Kugeln in den r Fächern ist.
Jetzt muss man r minimal so wählen, dass [mm] $\left(\frac{n-r}n\right)^k<.05$ [/mm] ist, d.h. $r> [mm] n(1-.05^{1/k})$.
[/mm]
Zahlenbeispiel: Ist n=100 und k=10 so ist r>25.887, d.h. r=26.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mi 22.12.2010 | | Autor: | gfm |
Danke.
Mich interessiert in der Tat der kombinatorische Aspekt, da die Aufgabe an sich schon gelöst wurde.
LG
gfm
|
|
|
|
