Jordanzerlegung in C < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 05.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{0&-1&2&0\\-3&0&0&2\\-2&0&0&1\\0&-2&3&0} \in M_{44}\IC.[/mm]
Das char.Polynom ist [mm] (T^2+1)^2 [/mm]. Bestimmen Sie die Jordanzerlegung von A. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
Als Eigenwerte habe ich -i und i.
Um A auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen, rechne ich [mm] A-iI [/mm] und [mm] A+iI [/mm] , I ist die Einheitsmatrix.
Beide Matrizen haben Rang 2 und so erhalte ich insgesamt 4 Vektoren aus dem Kern, die dann eine Matrix S ergeben, für die gilt [mm] S^{-1}AS = A_d [/mm] , [mm] A_d [/mm] ist diagonalisierbar.
Dann muss ich noch [mm] A_n=A-A_d [/mm] rechnen und erhalte den nilpotenten Teil der Jordanzerlegung.
Ist das richtig ?
Danke, Susanne
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> Sei [mm]A=\pmat{0&-1&2&0\\-3&0&0&2\\-2&0&0&1\\0&-2&3&0} \in M_{44}\IC.[/mm]
> Das char.Polynom ist [mm](T^2+1)^2 [/mm]. Bestimmen Sie die
> Jordanzerlegung von A.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich bin folgendermassen vorgegangen:
> Als Eigenwerte habe ich -i und i.
> Um A auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen, rechne ich [mm]A-iI[/mm]
> und [mm]A+iI[/mm] , I ist die Einheitsmatrix.
> Beide Matrizen haben Rang 2 und so erhalte ich insgesamt 4
> Vektoren aus dem Kern, die dann eine Matrix S ergeben, für
> die gilt [mm]S^{-1}AS = A_d[/mm] , [mm]A_d[/mm] ist diagonalisierbar.
Hallo,
Du meinst sicher: A ist diagonalisierbar. [mm] A_d [/mm] ist dann die entstehende Diagonalmatrix.
Wenn A selbst schon diagonalisierbar ist (ich hab's nicht nachgerechnet), dann ist
A=A+Nullmatrix die gesuchte Jordanzerlegung.
A ist diagonalisierbar, die Nullmatrix nilpotent, und A*Nullmatrix=Nullmatrix*A
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 05.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen, vielen Dank für Deine Hilfe !
> Wenn A selbst schon diagonalisierbar ist (ich hab's nicht
> nachgerechnet), dann ist
>
> A=A+Nullmatrix die gesuchte Jordanzerlegung.
>
> A ist diagonalisierbar, die Nullmatrix nilpotent, und
> A*Nullmatrix=Nullmatrix*A
Oh, dann wäre das wohl zu einfach. Ich fürchte, dann stimmt mein Eigenwert nicht:
Das char.Polynom ist gegeben mit [mm] \chi_A=(T^2+1)^2 \in \IC [/mm]. Das bedeutet doch [mm] ((T+i)(T-i))^2 [/mm]. Dann sind meine Eigenwerte -i und i. Oder sind diese Überlegungen falsch ?
Danke, Susanne.
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> Liebe Angela,
> vielen, vielen Dank für Deine Hilfe !
>
> > Wenn A selbst schon diagonalisierbar ist (ich hab's nicht
> > nachgerechnet), dann ist
> >
> > A=A+Nullmatrix die gesuchte Jordanzerlegung.
> >
> > A ist diagonalisierbar, die Nullmatrix nilpotent, und
> > A*Nullmatrix=Nullmatrix*A
>
> Oh, dann wäre das wohl zu einfach.
Hallo,
wieso soll man's nicht auch mal einfach haben?
Außerdem muß man sich erstmal trauen zu schreiben, daß die Jordanzerlegung A+0 ist...
> Ich fürchte, dann stimmt
> mein Eigenwert nicht:
> Das char.Polynom ist gegeben mit [mm]\chi_A=(T^2+1)^2 \in \IC [/mm].
> Das bedeutet doch [mm]((T+i)(T-i))^2 [/mm]. Dann sind meine
> Eigenwerte -i und i. Oder sind diese Überlegungen falsch ?
Nein, sie sind völlig richtig.
Das einzige könnte sein, daß Du Dich bei den Eigenvektoren verrechnet hast, kannst Du ja sicherheitshalber nochmal machen.
Für i habe ich eben gerechnet, ich bekomme auch den Rang 2, also hat der Eigenraum zu i die Dimension 4-2=2. Das war also richtig.
Zu -i hab' ich nun keine Lust mehr.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 05.05.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
> Außerdem muß man sich erstmal trauen zu schreiben, daß die
> Jordanzerlegung A+0 ist...
Da hast Du wirklich recht !
> Nein, sie sind völlig richtig.
> Das einzige könnte sein, daß Du Dich bei den Eigenvektoren
> verrechnet hast, kannst Du ja sicherheitshalber nochmal
> machen.
>
> Für i habe ich eben gerechnet, ich bekomme auch den Rang 2,
> also hat der Eigenraum zu i die Dimension 4-2=2. Das war
> also richtig.
Das lässt mich hoffen !
VIELEN DANK für Deine Mühe !!! (eine 4x4 Matrix mit i... das ist wirklich ätzend)
Danke, Susanne.
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