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Jordansche Normalform: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:02 Mi 26.01.2005
Autor: lilita

Hallo zusammen,
kann mir jemand bitte helfen. ich soll Jordansche Normalform berechnen

[mm] \pmat {3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3} [/mm]


vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
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Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mi 26.01.2005
Autor: Julius

Hallo!

Dann fang mal bitte an die Eigenwerte zu berechnen. Teile uns diese bitte (inkusive Rechnung) mit und anschließend helfen wir dir weiter. :-)

Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix $A$ sind die Nullstellen von

$t [mm] \mapsto CP_A(t) [/mm] = [mm] \det(A-tE)$, [/mm]

wobei $E$ die Einheitsmatrix (der gleichen Größe wie $A$) ist.

Viel Erfolg und Spaß! [sunny]

Liebe Grüße
Julius


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Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 26.01.2005
Autor: lilita

das char.Polynom ist   [mm] -x^3 +6x^2-12x+8, [/mm]
die Eigenwerte sind  2,2,2 , man kan faktorisieren   [mm] (x-2)^3 [/mm]
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Jordansche Normalform: Dann ist alles klar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mi 26.01.2005
Autor: Gnometech

Gruß!

Na, dann ist doch alles klar... die Matrix ist nicht diagonalisierbar, da sie sonst ähnlich zu einer Skalarmatrix und damit gleich dieser Skalarmatrix wäre - was offenbar nicht der Fall ist.

Also geht es darum, ob eine 1 oder zwei 1en auf der Nebendiagonalen stehen. Das wiederum kann man leicht ablesen:

Bilde $B:= A - 2 [mm] \cdot E_3$, [/mm] wo [mm] $E_3$ [/mm] die $3 [mm] \times [/mm] 3$-Einheitsmatrix ist. Diese Matrix hat Determinante 0, da 2 Nullstelle des char. Polynoms von A ist, also ist [mm] $\dim [/mm] kern(B) > 0$. Da [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 3$ ausscheidet (dann wäre A diagonalisierbar, was nicht der Fall ist - s.o.), bleiben nur zwei Fälle:

i) [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 1$  Dann stehen zwei 1en auf der Nebendiagonalen.

ii) [mm] $\dim [/mm] kern(B) = 2$ Dann steht nur eine 1 dort.

Alles klar?

Lars
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Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mi 26.01.2005
Autor: lilita

vielen Dank Lars,
ich habe  B:= A-E3 ausgerechnet und habe den Eigenvektor  v=(1,-1,1) bekommen.Ich weiß aber nicht, was ich weiter machen soll.

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Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Di 01.02.2005
Autor: Julius

Hallo!

Wenn du einen eindimensionalen Eigenraum errechnet hast, dann tritt Fall 1 in Lars Notation ein.

Ich verstehe jetzt dein Problem nicht, Lars hat das Vorgehen doch genau beschrieben. [haee]

Viele Grüße
Julius
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