Jordansche Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgendes Beispiel stammt aus: Griese, Birgit u.a.: Übungsbuch zur Linearen Algebra (7. Auflage) S. 205.
Gesucht ist die Jordansche Normalform zu A. Gegen Ende habe ich ein paar Frage
______
Für die Matrix
$A = [mm] \begin{pmatrix} 0&2&2 \\ 0 &0&2 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$
[/mm]
ist [mm] $P_A(t) [/mm] = [mm] -t^3$.
[/mm]
Einziger Eigenwert von A ist somit 0. Wir berechnen zunächst die Potenzen von A:
[mm] $A^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0&0&4 \\ 0&0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $A^3 [/mm] = (0)$.
Daraus bestimmen wir
[mm] $U_1 [/mm] := Ker A = span (^t (1,0,0))$.
[mm] $U_2 [/mm] := Ker [mm] A^2 [/mm] = span (^t(1,0,0), ^t(0,1,0))$.
Aus den Zerlegungen
[mm] $\mathbb{R}^3 [/mm] = [mm] U_2 \bigoplus W_3 [/mm] = [mm] U_1 \bigoplus W_2 \bigoplus W_3 [/mm] = [mm] U_0 \bigoplus W_1 \bigoplus W_2 \bigoplus W_3$
[/mm]
bestimmen wir $dim [mm] W_3 [/mm] = dim [mm] W_2 [/mm] = dim [mm] W_1, [/mm] d.h. [mm] s_3 [/mm] = 1, [mm] s_2 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] = 0$. |
So, hier ist Schluss und ich komme zu meiner Frage:
Was bedeuten hier sie [mm] $s_1, s_2, s_3$ [/mm] ? Und welche Bedeutung haben sie?
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> Folgendes Beispiel stammt aus: Griese, Birgit u.a.:
> Übungsbuch zur Linearen Algebra (7. Auflage) S. 205.
> Gesucht ist die Jordansche Normalform zu A. Gegen Ende
> habe ich ein paar Frage
> ______
> Für die Matrix
> [mm]A = \begin{pmatrix} 0&2&2 \\ 0 &0&2 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ist [mm]P_A(t) = -t^3[/mm].
>
> Einziger Eigenwert von A ist somit 0. Wir berechnen
> zunächst die Potenzen von A:
>
> [mm]A^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4 \\ 0&0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]A^3 = (0)[/mm].
>
> Daraus bestimmen wir
>
> [mm]U_1 := Ker A = span (^t (1,0,0))[/mm].
> [mm]U_2 := Ker A^2 = span (^t(1,0,0), ^t(0,1,0))[/mm].
>
> Aus den Zerlegungen
>
> [mm]\mathbb{R}^3 = U_2 \bigoplus W_3 = U_1 \bigoplus W_2 \bigoplus W_3 = U_0 \bigoplus W_1 \bigoplus W_2 \bigoplus W_3[/mm]
>
> bestimmen wir [mm]dim W_3 = dim W_2 = dim W_1, d.h. s_3 = 1, s_2 = s_1 = 0[/mm].
>
> So, hier ist Schluss und ich komme zu meiner Frage:
>
> Was bedeuten hier sie [mm]s_1, s_2, s_3[/mm] ? Und welche Bedeutung
> haben sie?
[mm] s_1, s_2, s_3 [/mm] ist die Anzahl der Jordankastchen der Größe 1 bzw. 2 bzw. 3 im Jordanblock zum Eigenwert 0, der hier betrachtet wird,
und wenn man die kennt, kann man die JNF hinschreiben.
LG Angela
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Das ist ja hervorragend. Lieben Dank!
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