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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Jordannormalform
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Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 25.04.2012
Autor: unibasel

Aufgabe
Bestimme eine Jordan-Basis und die zugehörige Normalform für die folgende nilpotente Matrix:
a) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm]

Also zu a) (Stimmt dies denn?:))

[mm] e_{1} \mapsto e_{4} [/mm]
[mm] e_{2} \mapsto [/mm] 0
[mm] e_{3} \mapsto e_{6} [/mm]
[mm] e_{4} \mapsto e_{2} [/mm]
[mm] e_{5} \mapsto e_{7} [/mm]
[mm] e_{6} \mapsto e_{5} [/mm]
[mm] e_{7} \mapsto [/mm] 0

[mm] e_{1} \mapsto e_{4} \mapsto e_{2} \mapsto [/mm] 0
[mm] e_{3} \mapsto e_{6} \mapsto e_{5} \mapsto e_{7} \mapsto [/mm] 0

Die Jordanbasis B:
[mm] B={e_{3},e_{6},e_{5},e_{7},e_{1},e_{4},e_{2}} [/mm]

Wie bilde ich die Jordannormalform?
Also nachgelesen habe ich:

[mm] J=\pmat{ J_{1} \\ & ... & \\ & & J_{k} } [/mm]

Und als [mm] J_{1} [/mm] ... [mm] J_{k} [/mm] bezeichnet man die Jordankästchen.

Nun sind ja glaube ich die Eigenwerte in der Hauptdiagonale, wenn ich mich nicht irre... So muss ich also das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und auch Eigenvektoren ausrechnen?
Oder wie sieht die Normalform dazu aus?

Danke für die Hilfe :)
mfg

        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mi 25.04.2012
Autor: MathePower

Hallo unibasel,

> Bestimme eine Jordan-Basis und die zugehörige Normalform
> für die folgende nilpotente Matrix:
>  a) [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Also zu a) (Stimmt dies denn?:))
>  
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4}[/mm]
>  [mm]e_{2} \mapsto[/mm] 0
>  [mm]e_{3} \mapsto e_{6}[/mm]
>  [mm]e_{4} \mapsto e_{2}[/mm]
>  [mm]e_{5} \mapsto e_{7}[/mm]
>  
> [mm]e_{6} \mapsto e_{5}[/mm]
>  [mm]e_{7} \mapsto[/mm] 0
>  
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4} \mapsto e_{2} \mapsto[/mm] 0
>  [mm]e_{3} \mapsto e_{6} \mapsto e_{5} \mapsto e_{7} \mapsto[/mm] 0
>  
> Die Jordanbasis B:
>  [mm]B={e_{3},e_{6},e_{5},e_{7},e_{1},e_{4},e_{2}}[/mm]
>  


Ja, das stimmt.


> Wie bilde ich die Jordannormalform?
> Also nachgelesen habe ich:
>
> [mm]J=\pmat{ J_{1} \\ & ... & \\ & & J_{k} }[/mm]
>  
> Und als [mm]J_{1}[/mm] ... [mm]J_{k}[/mm] bezeichnet man die
> Jordankästchen.
>  
> Nun sind ja glaube ich die Eigenwerte in der
> Hauptdiagonale, wenn ich mich nicht irre... So muss ich
> also das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und auch
> Eigenvektoren ausrechnen?
>  Oder wie sieht die Normalform dazu aus?
>  


Bilde

[mm]B^{-1}*\operatorname{obige\ Matrix}*B[/mm]


> Danke für die Hilfe :)
> mfg


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Jordannormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Mi 25.04.2012
Autor: unibasel

Mmh okay danke. Kann man das nicht irgendwie anders lösen?

Weil B und [mm] B^{-1} [/mm] weiss ich nicht so genau, wie man das bestimmt...

Also mein B wären die Basisvektoren als Matrix und davon die Inverse?
Aber das geht doch nicht so richtig auf...

Bezug
                        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mi 25.04.2012
Autor: wieschoo

Bei mir passt es


[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Jordannormalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Mi 25.04.2012
Autor: unibasel

Ahhhhh sooooooo :D
Ja super, danke vielmals!!
Das war ja herrlich einfach :)

Bezug
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