Jordanisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Jordanisiere
1,5 -0,5 0,5
0 1 1
-0,5 0,5 1,5 |
Ok, bisher habe ich das char. Polynom ausgerechnet und bin auf folgendes gekommen: [mm] -x^3+4x^2-5x+2
[/mm]
Anschließend habe ich die Eigenwerte ausgerechnet. Sie sind 1,1,2
Wie gehe ich jetzt beim Jordanisieren weiter vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
Nicht wirklich. Ich habe mir die Seite schon angeguckt, aber irgendwie raffe ich es nicht. Kann mir jemand die Stelle wo ich nicht weiter weis, mit seinen eigenen Worten evtl erklären.
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Hallo Wurzel2,
> Nicht wirklich. Ich habe mir die Seite schon angeguckt,
> aber irgendwie raffe ich es nicht. Kann mir jemand die
> Stelle wo ich nicht weiter weis, mit seinen eigenen Worten
> evtl erklären.
An welcher Stelle weisst Du denn nicht weiter?
Berechne zunächst die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 bzw. 2.
Diese bestimmst Du, in dem Du das Gleichungssystem:
[mm]\left(A-I\right)*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
für den Eigenwert 1 löst.
Für den Eigenwert 2 analog:
[mm]\left(A-2I\right)*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
,wobei A die gegebene Matrix und I die Einheitsmatrix ist.
Gruß
MathePower
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Hallo Wurzel2,
> Jordanisiere
> 1,5 -0,5 0,5
> 0 1 1
> -0,5 0,5 1,5
> Ok, bisher habe ich das char. Polynom ausgerechnet und bin
> auf folgendes gekommen: [mm]-x^3+4x^2-5x+2[/mm]
> Anschließend habe ich die Eigenwerte ausgerechnet. Sie
> sind 1,1,2
> Wie gehe ich jetzt beim Jordanisieren weiter vor?
Siehe hier
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 25.05.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind : (1,1,0) (1,1,0)
und für 2 : (0,1,1)
2 ist eigentlich zweidimensional, also ist diese Matrix nicht diagonalisierbar. Aber wo ist jetzt der Unterschied zwischen diagonalisieren und jordinsiren?
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Hallo Wurzel2,
> Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind : (1,1,0) (1,1,0)
Es gibt nur einen Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Demnach benötigst Du noch einen Eigenvektor 2. Stufe.
Den bekommst Du, wenn Du das Gleichungssystem
[mm]\left(A-I\right)^{2}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
löst.
[mm]\left(A-I\right)^{2}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\left(A-I\right)\left(\left(A-I\right)*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}\right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Definieren wir [mm]z:=\left(A-I\right)\pmat{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm], so muß z ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 sein.
[mm]\left(A-I\right)*z=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Das heißt wiederum, daß das Gleichungssystem
[mm]\left(A-I\right)\pmat{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
zu lösen ist.
> und für 2 : (0,1,1)
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2 ist eigentlich zweidimensional, also ist diese Matrix
> nicht diagonalisierbar. Aber wo ist jetzt der Unterschied
> zwischen diagonalisieren und jordinsiren?
Eine quadratrische Matrix ist diagonaliserbar, wenn für jeden Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm] die algebraische Vielfachheit mit der geometischen Vielfachheit übereinstimmt.
Beim "Jordanisieren" muß dies nicht erfüllt sein.
Gruß
MathePower
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
jnfkochrezept
