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| Aufgabe | Bestimme für die Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1\\ -6 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
eine Jordansche Normalform J und eine Transformationsmatrix S mit [mm] S^{-1}AS=J
[/mm]
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich stehe im Moment bei der obigen Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Ich versuche verzweifelt, eine Transformationsmatrix zu finden, aber es will nicht so richtig hinhaun. Meine Lösungsansätze bisher:
Bestimmung des charakteristischen Polynoms:
P= det(x*E-A)
bin dann auf das Polynom
[mm] P=(x-2)^{4} [/mm] gekommen. (der Eigenwert ist also 2)
Anschließend habe ich noch eine Basis von ker(2*E-A) bestimmt:
[mm] v_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0\\ 0}; v_{2}= \vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0}
[/mm]
Dann noch eine Basis von [mm] ker(2*E-A)^{2}:
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, v_{2}= \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0}, v_{3}= \vektor{-1 \\ 0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
und [mm] (2E-A)^{3}=0 [/mm] also [mm] ker(2*E-A)^{3}=R^{4}
[/mm]
Weiter komme ich jedoch irgendwie nicht...
Habe bereits mit mehreren Verfahren versucht, auf die Jordanbasis zu kommen, stimmt allerdings nie.
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob meine bisherigen Ansätze stimmen...
Gibt es hier vielleicht ein einfaches Verfahren, um auf die Jordanbasis zu kommen?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Gruß Lance.
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> Bestimme für die Matrix
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1\\ -6 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 3}[/mm]
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> eine Jordansche Normalform J und eine Transformationsmatrix
> S mit [mm]S^{-1}AS=J[/mm]
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> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich stehe im Moment bei der obigen Aufgabe ziemlich auf
> dem Schlauch. Ich versuche verzweifelt, eine
> Transformationsmatrix zu finden, aber es will nicht so
> richtig hinhaun. Meine Lösungsansätze bisher:
>
> Bestimmung des charakteristischen Polynoms:
> P= det(x*E-A)
> bin dann auf das Polynom
> [mm]P=(x-2)^{4}[/mm] gekommen. (der Eigenwert ist also 2)
>
> Anschließend habe ich noch eine Basis von ker(2*E-A)
> bestimmt:
> [mm]v_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0\\ 0}; v_{2}= \vektor{0 \\ 0\\ 1 \\0}[/mm]
>
> Dann noch eine Basis von [mm]ker(2*E-A)^{2}:[/mm]
> [mm]v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, v_{2}= \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0}, v_{3}= \vektor{-1 \\ 0\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> und [mm](2E-A)^{3}=0[/mm] also [mm]ker(2*E-A)^{3}=R^{4}[/mm]
Hallo, die Kerne von [mm] ker(2*E-A)^{2} [/mm] und [mm] ker(2*E-A)^{3} [/mm] habe ich nicht kontrolliert, die Vorgehensweise bisher ist vom Prinzip her in Ordnung.
Dein charakteristisches Polynom stimmt, der 4-fache Eoigenwert 2 sagt Dir, daß die Jordanmatrix so aussieht:
[mm] \vektor{2& ...&0&0\\0&2& ...&0\\0&0&2& ...\\0&0&0&2}
[/mm]
Die Dimension des Eigenraumes zu 2 ist (wie Du richtig errechnet hast) 2, also hast Du 2 Jordankästchen, herauszufinden ist nun noch deren Länge.
Deiner Rechnung nach wird der Kern stationär ab der dritten Potenz von 2*E-A, demnach hat das längste Jordankästchen die Länge 3.
Mit diesen Informationen steht bereits das Aussehen der Jordanmatrix.
Für das Finden der Basis und überhaupt möchte ich Dich zunächst auf dieses hübsche ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept verweisen.
Vielleicht versuchst Du Dich damit erstmal durchzuhangeln.
Achtung: die JNF in diesem Rezept hat die Einsen unterhalb der Hauptdiagonalen, das wird von ort zu ort verschieden gehandhabt.
Wenn Du die Einsen oben haben möchtest, mußt Du die Ketten von Vektoren umdrehen.
Gruß v. Angela
> Gibt es hier vielleicht ein einfaches Verfahren, um auf die
> Jordanbasis zu kommen?
> Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß Lance.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Lance1987 |
Danke für den coolen Link!
Ich denke, ich habe das Prinzip jetzt verstanden.
Gruß Lance
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