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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Jordan Normalform
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Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Di 17.08.2010
Autor: Wurzel2

Hallo.

Ich habe mich vor kurzem mit dem Thema der Diagonalisierung von Matrizen beschäftigt, und möchte mich nun mit dem Thema zur Jordan Normalform beschäftigen.

Ich habe schon ein paar Bücher dazu gewälst, jedoch habe ich noch ein paar kleine Fragen bzgl der Jordan Normalform.

Wann genau berechne ich denn nun die Jordan Normalform, sprich wann benötige ich Sie?
Hat es etwas damit zu tun, wenn ein Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist? Oder hat es etwas damit zu tun das ein Endomorphismus nur trigonalisierbar ist?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke im Voraus.
        
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Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Di 17.08.2010
Autor: Teufel

Hi!

Also die JNF ist eine relativ schöne Form, die eine Matrix haben kann. Mit ihr kann man z.B. Differentialgleichungssysteme gut lösen, Potenzen von Matrizen ausrechnen und noch sicher viel mehr. Diese Form ist ein guter Trost, falls die Matrix nicht diagonalisierbar, aber wenigstens trigonalisierbar ist (wobei eine Diagonalmatrix streng genommen auch in JNF vorliegt). Hilft dir das?

[anon] Teufel
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Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Di 17.08.2010
Autor: Wurzel2

Hallo Teufel.

Danke, dass du mir hilfst.

Also wenn ich nun konkrete Aussagen machen möchte, kann ich dann sagen, dass wenn ein endomorphismus nicht diagonalisierbar ist, dann ist er jedoch trigonalisierbar und man kann ihn auf Jordan Normalform bringen?


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Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Di 17.08.2010
Autor: Teufel

Hi!

Man muss beachten, ob man eine reelle oder eine komplexe Matrix vor sich hat. nxn-Matrizen mit komplexen Einträgen (Endomorphismen über [mm] \IC) [/mm] kann man entweder diagonalisieren und wenn das nicht klappen sollte auf alle Fälle immer trigonalisieren und damit auch immer jordanisieren, weil das charakteristische Polynom dann n Nullstellen besitzt. (wichtig also: kannst du eine Matrix trigonalisieren, so kannst du sie auch jordanisieren)

Hast du eine reelle Matrix, so kannst du sie diagonalisieren und wenn das nicht klappen sollte, kannst du sie eventuell trigonalisieren und damit auch jordanisieren. Dazu muss das charakteristische Polynom aber nur reelle Nullstellen haben! Gibt es komplexe, so gibt es keine JNF dieser Matrix.

[anon] Teufel


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Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Di 17.08.2010
Autor: Wurzel2

Danke, damit hast du ein bisschen Licht  bei mir ins Dunkel gebracht,

Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Bezug
                                
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Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:14 Mi 18.08.2010
Autor: felixf

Moin Teufel,

> Hast du eine reelle Matrix, so kannst du sie
> diagonalisieren und wenn das nicht klappen sollte, kannst
> du sie eventuell trigonalisieren und damit auch
> jordanisieren. Dazu muss das charakteristische Polynom aber
> nur reelle Nullstellen haben! Gibt es komplexe, so gibt es
> keine JNF dieser Matrix.

das ist nicht ganz richtig bzw. exakt ;-)

Einmal meist du: es gibt dann keine JNF ueber [mm] $\IR$. [/mm] Ueber [mm] $\IC$ [/mm] gibt es die schon.

Und dann: es gibt eine []"reelle JNF", die man zu jeder Matrix mit Eintraegen ueber [mm] $\IR$ [/mm] finden kann (und die auch nur Eintraege aus [mm] $\IR$ [/mm] hat, ebenso wie die Transformationsmatrix).

Noch allgemeiner (auch ueber anderen Koerpern) geht es mit der []Frobenius-Normalform, die ebenfalls eine "Verallgemeinerung" der Diagonalisierung ist, jedoch keine direkte Verallgemeinerung der JNF (da die Bloecke voellig anders aussehen).

LG Felix

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Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mi 18.08.2010
Autor: fred97


> Hi!
>  
> Man muss beachten, ob man eine reelle oder eine komplexe
> Matrix vor sich hat. nxn-Matrizen mit komplexen Einträgen
> (Endomorphismen über [mm]\IC)[/mm] kann man entweder
> diagonalisieren und wenn das nicht klappen sollte auf alle
> Fälle immer trigonalisieren und damit auch immer
> jordanisieren, weil das charakteristische Polynom dann n
> Nullstellen besitzt. (wichtig also: kannst du eine Matrix
> trigonalisieren, so kannst du sie auch jordanisieren)

Ei, das gefällt mir: "jordanisieren". Wer waren (oder sind) die Herren Diagonal und Trigonal ?

Statt "diagonalisieren" sollten wir in Zukunf "cantorisieren" sagen.

FRED


>  
> Hast du eine reelle Matrix, so kannst du sie
> diagonalisieren und wenn das nicht klappen sollte, kannst
> du sie eventuell trigonalisieren und damit auch
> jordanisieren. Dazu muss das charakteristische Polynom aber
> nur reelle Nullstellen haben! Gibt es komplexe, so gibt es
> keine JNF dieser Matrix.
>  
> [anon] Teufel
>  
>  

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