JordanNormalform, JordanBasis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A eine reelle 3 × 3-Matrix, deren charakteristisches Polynom A(t) vollständig in
Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie, dass es (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke)
genau 6 verschiedene Typen von Jordan-Normalformen J von A gibt und geben Sie in
jedem der 6 Fälle an, wie ohne großen Aufwand eine Jordanbasis von A bestimmt werden
kann. |
Ich habe hier zwei Schwierigkeiten: Ich weiß nicht genau, was es heißt, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt (bzw. was es für diesen Fall für Folgen hat, mit denen ich argumentieren kann) und da ich Probleme mit der Jordan-Basis habe weiß ich auch nicht, wie man diese "ohne großen Aufwand" bestimmen soll (was wohl heißen soll, dass man sie direkt "ablesen" kann).
Muss ich denn hier irgendeine 3x3 Matrix nehmen und daran zeigen, dass das gilt oder gilt das auch für alle. Wie müsste ich das dann allgemein machen.
Ein Ansatz oder ein Tipp würde mir schon reichen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 02.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
zum einen
> was es heißt, wenn das charakteristische Polynom in
> Linearfaktoren zerfällt (bzw. was es für diesen Fall für
> Folgen hat, mit denen ich argumentieren kann)
Sei F ein Endomorphismus von V, d.h. [mm] F:V\to{V}, [/mm] mit $n=dim V$.
Ist [mm] p_F=\pm(t-\lambda_1)*(t-\lambda_2)*...*(t-\lambda_n)=\produkt_{i=1}^{n}(t-\lambda_i), [/mm]
[mm] \lambda_i [/mm] Eigenwerte von F, dann heißt es, das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
Und zum anderen
> da ich
> Probleme mit der Jordan-Basis habe weiß ich auch nicht, wie
> man diese "ohne großen Aufwand" bestimmen soll (was wohl
> heißen soll, dass man sie direkt "ablesen" kann).
>
> Muss ich denn hier irgendeine 3x3 Matrix nehmen und daran
> zeigen, dass das gilt oder gilt das auch für alle. Wie
> müsste ich das dann allgemein machen.
Hast du dir erst einmal darüber Gedanken gemacht, wie deine 6 verschiedenen Typen von Jordan-Normalformen J von A aussehen?
[mm] \red{1.} [/mm] (und einfachste) [mm] \red{Fall}:
[/mm]
Alle drei Eigenwerte sind verschieden, dass heißt, dein charakteristisches Polynom hat die Form: [mm] p_A=(t-\lambda_1)*(t-\lambda_2)*(t-\lambda_3)
[/mm]
Wie sieht in diesem Fall die Jordannormalform aus?
[mm] J(A)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }
[/mm]
[mm] \red{2. Fall}: [/mm] Zwei verschiedene Eigenwerte
charakteristisches Polynom: [mm] p_(A)=(t-\lambda_1)*(t-\lambda_2)^2
[/mm]
Hier gibt es mehr als eine mögliche Jordannormalform:
[mm] J_1(A)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 }, [/mm] aber auch [mm] J_2(A)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_2 } [/mm] ist möglich!
[mm] \red{3.} [/mm] (und letzter) [mm] \red{Fall}:
[/mm]
Einzig ein Eigenwert (mit algebraischer Vielfachheit 3):
Charakteristisches Polynom: [mm] p_A=(t-\lambda_1)^3
[/mm]
Mögliche Jordannormalformen: ... Deine Aufgabe  Tipp: hier verbergen sich die restlichen 3 Typen von Jordannormalformen.
> Ein Ansatz oder ein Tipp würde mir schon reichen
Soweit mein Tipp
> und geben Sie in jedem der 6 Fälle an, wie ohne großen Aufwand eine Jordanbasis von A bestimmt werden kann.
Jetzt weiß ich leider nicht, wie weit ihr in der VL seid/ welche Kenntnisse du hast.
Der [mm] \red{1. Fall} [/mm] dürfte noch klar sein. Hier hattet ihr bestimmt einen Satz.
Gruß barsch
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Ah, danke für die Erleuchtung bezüglich der Jordanformen. Die resltichen 3 sind sonnenklar. Danke nochmal, ich stand hier wohl auf dem Schlauch ^^"
Was die Jordan-Basen angeht bin ich aber noch nicht viel weiter. Wir haben eine Art "Rezept", mit dem man mithilfe des Kerns (und viel Rechnen auf die Jordanbasis kommt, das ich aber nicht so wirklich verstanden habe. Deswegegen weiß ich auch nicht, wie man hier "ganz leicht" auf die Basen kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 02.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hey,
das ging jetzt aber fix.
Betrachten wir einmal die folgenden beiden Fälle:
i) den eben betrachteten 1. Fall:
Wir haben als charakteristisches Polynom $ [mm] p_A=(t-\lambda_1)\cdot{}(t-\lambda_2)\cdot{}(t-\lambda_3) [/mm] $
Ihr hattet sicher die Begriffe algebraische und geometrische Vielfachheit?
Algebraische Vielfacheit bezeichnet die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom, sprich: Algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] ist je 1.
Dein "Rezept" sagt dir nun (denke ich zumindest, dass es dir das sagt ): Berechne
[mm] Kern(A-\lambda_1),
[/mm]
[mm] Kern(A-\lambda_2) [/mm] und
[mm] Kern(A-\lambda_3).
[/mm]
Die Dimension von [mm] Kern(A-\lambda_i) [/mm] bezeichnet man als geometrische Vielffachheit von [mm] \lambda_i. [/mm] Gilt nun
geometrische=algebraische Vielfachheit für den Eigenwert [mm] \lambda_i, [/mm] so ist der [mm] \lambda_i-Block [/mm] diagonalisierbar.
Gar nicht so einfach, es verständlich zu erklären - also bei Bedarf nachfragen.
2. Fall:
Haben wir also [mm] A\in\IR^{nxn} [/mm] und $ [mm] p_A=(t-\lambda_1)\cdot{}(t-\lambda_2)^2 [/mm] $,
so ist algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] 1 und von [mm] \lambda_2 [/mm] ist die algebraische Vielfachheit 2.
Gilt nun
[mm] dim(Kern(A-\lambda_1))=1 [/mm] und [mm] dim(Kern(A-\lambda_2))=2, [/mm] so erhälst du
$ [mm] J_1(A)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 }. [/mm] $
Der Gedanke dahinter: Du musst die Eigenvektoren nicht explizit berechnen und musst keine invertierbare Matrix [mm] S\in\IR^{nxn} [/mm] finden, sodass
[mm] J_1(A)=S^{-1}*A*S [/mm] gilt.
ii) Haben wir den Fall: [mm] p_(A)=(t-\lambda_1)\cdot{}(t-\lambda_2)^2 [/mm] und $ [mm] J_2(A)=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_2 } [/mm] $ , so muss bei der Berechnung der Eigenräume folgender Fall aufgetreten sein:
[mm] dim(Kern(A-\lambda_1))=1, [/mm] aber [mm] dim(Kern(A-\lambda_2))<2,
[/mm]
wir müssen also zudem [mm] dim(Kern(A-\lambda_2)^2) [/mm] berechnen. Hier ist dann [mm] dim(Kern(A-\lambda_2)^2)=2.
[/mm]
Worauf ich hinaus will, ist der Begriff der Nilpotenzordnung.
Aber, hilft dir das weiter? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Kleiner Tipp: Vielleicht postest du mal eine konkrete Aufgabe, an der du dein "Rezept" Schritt für Schritt durchgegangen bist, aber Probleme hattest.
Gruß barsch
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Der Begriff der Nilpotenzordnung hilft mir gewiss weiter, das ist nämlich das "Neue" bei uns. Ich habe es nur irgendwie nicht in Zusammenhang gebracht.
Wie nun die Jordanbasis mit den Erkenntnissen der Jordanform zusammenhängt und mit der geometrischen/algebraischen Vielfachheit, da bin ich mir noch nicht so im Klaren. Vor allem, weil ide Aufgabe ja heißt, dass man quasi ganz leicht, ohne viel zu rechnen darauf kommen soll, wie die Basen aussehen und das ist mir leider schleierhaft.
Ich würde wegen meines "Rezeptes" gerne noch einmal auf dich zurück kommen, aber ich dachte in diesem Fall würde man es an etwas anderem ablesen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Mi 03.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> aber ich dachte in diesem Fall würde
> man es an etwas anderem ablesen können.
mir fällt momentan keine leichtere Vorgehensweise ein. Aber vielleicht kennt ein anderes Mitglied eine einfachere Methode.
Gruß barsch
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Hallo,
zur Basisbestimmung:
In den Fällen, daß Deine Matrix diagonalisierbar ist, nimmst Du natürlich die Eigenvektoren.
Für z.B. [mm] JNF_A= \pmat{\lambda&1&0\\0&\lambda&0\\0&0&\mu} [/mm] kannst Du folgendes machen:
[mm] v_1 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda, v_3 [/mm] Eigenvektor zu [mm] \mu.
[/mm]
Um [mm] v_2 [/mm] zu finden, überlege Dir dies:
Es ist [mm] Av_2=v_1+\lambda v_2 [/mm] <==> [mm] (A-\lambda E)v_2=v_1, [/mm] und dieses System wäre zu lösen, um [mm] v_2 [/mm] zu finden.
Immerhin bräuchtest Du hierfur keine Matrizen zu quadrieren. Insofern ist es einfach.
Vielleicht ist sowas gemeint.
Gruß v. Angela
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