Jordan-Zerlegung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 27.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch [mm]\mu\\(\\(0,x\\]\\) = x^2 + \frac{1}{x} [/mm] (0<x<=1) eine signierte Maßfunktion auf ((0,1],[mm]B\cap\\(0,1\\]\\) [/mm] definiert wird und bestimmen Sie die Jordan-Zerlegung.
(B steht hier für die Potenzmenge) |
Hallo Leute, ich weiß leider nicht recht, wie ich das angehen soll.
Als signierte Maßfunktion muss [mm]\mu[/mm]
1.) auf einem Sigmaring definiert sein,
2.) als Wertebereich entweder [mm]\\(-\infty,\infty\\] [/mm]oder [ [mm]-\infty,\infty [/mm] ) haben und
3.) sigmaadditiv sein.
2.) ist leicht bewiesen, da der Wertebereich nur [mm]\\(0, 2\\] [/mm]sein kann, denke ich.
Auch die Sigmaadditivität ist offensichtlich erfüllt, aber wie zeige ich dies am besten und wie zeige ich, dass tatsächlich ein Sigmaring vorliegt? (die Kriterien, die er erfüllen muss, sind mir klar)
Die Definition der Jordanzerlegung kenne ich auch, aber zu ihrer Bestimmung habe ich leider keine Idee.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass durch [mm]\mu\\(\\(0,x\\]\\) = x^2 + \frac{1}{x}[/mm]
> (0<x<=1) eine signierte Maßfunktion auf
> ((0,1],[mm]B\cap\\(0,1\\]\\)[/mm] definiert wird und bestimmen Sie
> die Jordan-Zerlegung.
> (B steht hier für die Potenzmenge)
Nein, ich denke B steht für die Borelsche Sigma-Algebra auf [mm] $\IR$.
[/mm]
> Hallo Leute, ich weiß leider nicht recht, wie ich das
> angehen soll.
> Als signierte Maßfunktion muss [mm]\mu[/mm]
> 1.) auf einem Sigmaring definiert sein,
> 2.) als Wertebereich entweder [mm]\\(-\infty,\infty\\] [/mm]oder [
> [mm]-\infty,\infty[/mm] ) haben und
> 3.) sigmaadditiv sein.
OK.
Bevor du die Aufgabe richtig angehen kannst, solltest du dir überlegen, warum das Maß überhaupt wohldefiniert ist. Du hast ja nicht den Wert des Maßes für alle Werte der Sigma-Algebra (des Sigma-Rings) gegeben, sondern nur für die halboffenen Intervalle (0,x] .
Ihr müsst in der Vorlesung irgendwelche Erweiterungssätze für solche signierten Maße gehabt haben. Die Menge [mm] $\{(0,x],x \in (0,1]\}$ [/mm] ist ja nur eine Semi-Algebra. Wenn man die geeignet anwendet, erhält man automatisch, dass die gegebene Funktion eine signierte Maßfunktion ist (und man weiß dann auch, was man zu überprüfen hat).
> 2.) ist leicht bewiesen, da der Wertebereich nur [mm]\\(0, 2\\] [/mm]sein
> kann, denke ich.
Ja.
> Auch die Sigmaadditivität ist offensichtlich erfüllt,
Naja, es ist nur offensichtlich für die Mengen $(0,x]$.
> aber wie zeige ich dies am besten und wie zeige ich, dass
> tatsächlich ein Sigmaring vorliegt? (die Kriterien, die er
> erfüllen muss, sind mir klar)
Dass $B [mm] \cap [/mm] (0,1]$ ein Sigma-Ring ist, sollte eigtl. mit Mitteln aus eurer Vorlesung klar sein.
$B$ ist als Borelsche Sigma-Algebra per Definition eine Sigma-Algebra.
$B [mm] \cap [/mm] (0,1]$ ist als Einschränkung einer Sigma-Algebra wieder eine Sigma-Algebra (Urbild-Sigma-Algebra unter der Abbildung [mm] $f:\IR \to \{0,1\}, [/mm] f(x) = [mm] 1_{[0,1]}(x)$ [/mm] )
> Die Definition der Jordanzerlegung kenne ich auch, aber zu
> ihrer Bestimmung habe ich leider keine Idee.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Da siehst du zwei Definitionen für die beiden nicht-signierten Maße. Setze das mal bei dir ein, indem du nur die halboffenen Intervalle $(0,x]$ als Mengen $A$,$B$ zulässt und gucke, was für [mm] $\nu^{+},\nu^{-}$ [/mm] rauskommt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 29.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
> Hallo,
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> > Zeigen Sie, dass durch [mm]\mu\\(\\(0,x\\]\\) = x^2 + \frac{1}{x}[/mm]
> > (0<x<=1) eine signierte Maßfunktion auf
> > ((0,1],[mm]B\cap\\(0,1\\]\\)[/mm] definiert wird und bestimmen Sie
> > die Jordan-Zerlegung.
> > (B steht hier für die Potenzmenge)
>
>
> Nein, ich denke B steht für die Borelsche Sigma-Algebra
> auf [mm]\IR[/mm].
>
>
> > Hallo Leute, ich weiß leider nicht recht, wie ich das
> > angehen soll.
> > Als signierte Maßfunktion muss [mm]\mu[/mm]
> > 1.) auf einem Sigmaring definiert sein,
> > 2.) als Wertebereich entweder [mm]\\(-\infty,\infty\\] [/mm]oder
> [
> > [mm]-\infty,\infty[/mm] ) haben und
> > 3.) sigmaadditiv sein.
>
> OK.
>
> Bevor du die Aufgabe richtig angehen kannst, solltest du
> dir überlegen, warum das Maß überhaupt wohldefiniert
> ist. Du hast ja nicht den Wert des Maßes für alle Werte
> der Sigma-Algebra (des Sigma-Rings) gegeben, sondern nur
> für die halboffenen Intervalle (0,x] .
>
> Ihr müsst in der Vorlesung irgendwelche Erweiterungssätze
> für solche signierten Maße gehabt haben. Die Menge
> [mm]\{(0,x],x \in (0,1]\}[/mm] ist ja nur eine Semi-Algebra. Wenn
> man die geeignet anwendet, erhält man automatisch, dass
> die gegebene Funktion eine signierte Maßfunktion ist (und
> man weiß dann auch, was man zu überprüfen hat).
>
Nein, wir hatten leider für signierte (!) Maßfunktionen keine Erweiterungssätze. Kannst du mir bitte einen entsprechenden nennen oder wie soll ich dann vorgehen?
>
> > 2.) ist leicht bewiesen, da der Wertebereich nur [mm]\\(0, 2\\] [/mm]sein
> > kann, denke ich.
>
> Ja.
>
> > Auch die Sigmaadditivität ist offensichtlich erfüllt,
>
> Naja, es ist nur offensichtlich für die Mengen [mm](0,x][/mm].
Wie meinst du das?
>
> > aber wie zeige ich dies am besten und wie zeige ich, dass
> > tatsächlich ein Sigmaring vorliegt? (die Kriterien, die er
> > erfüllen muss, sind mir klar)
>
> Dass [mm]B \cap (0,1][/mm] ein Sigma-Ring ist, sollte eigtl. mit
> Mitteln aus eurer Vorlesung klar sein.
>
> [mm]B[/mm] ist als Borelsche Sigma-Algebra per Definition eine
> Sigma-Algebra.
> [mm]B \cap (0,1][/mm] ist als Einschränkung einer Sigma-Algebra
> wieder eine Sigma-Algebra (Urbild-Sigma-Algebra unter der
> Abbildung [mm]f:\IR \to \{0,1\}, f(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm] )
Okay, ja, also Punkt 1) und 2) sind somit klar.
>
> > Die Definition der Jordanzerlegung kenne ich auch, aber zu
> > ihrer Bestimmung habe ich leider keine Idee.
>
> Schau mal
> hier.
> Da siehst du zwei Definitionen für die beiden
> nicht-signierten Maße. Setze das mal bei dir ein, indem du
> nur die halboffenen Intervalle [mm](0,x][/mm] als Mengen [mm]A[/mm],[mm]B[/mm]
> zulässt und gucke, was für [mm]\nu^{+},\nu^{-}[/mm] rauskommt.
Meinst du in etwa so:
[mm]v^+((0,x]):=sup\{v\\(\\(0,y\\]\\)|y<=x, \\(0,y\\] \in \cmath{A}\} [/mm] bzw. [mm]v^-((0,x]):=-inf\{v\\(\\(0,y\\]\\)|y<=x, \\(0,y\\] \in \cmath{A}\} [/mm]
>
> Viele Grüße,
> Stefan
>
Danke schonmal
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Hallo,
sorry das ist etwas komplizierter als ich gedacht habe. Da muss ich nochmal drüber nachdenken. Evtl. schreibe ich später noch was.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo,
die Fälligkeitsdauer dieser Frage ist zwar abgelaufen, aber aus persönlichem Interesse würde es mich trotzdem freuen, wenn ihr mir noch helfen könntet, die Lösung zu finden.
Liebe Grüße
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Hallo nochmal,
> > > Zeigen Sie, dass durch [mm]\mu\\(\\(0,x\\]\\) = x^2 + \frac{1}{x}[/mm]
> > > (0<x<=1) eine signierte Maßfunktion auf
> > > ((0,1],[mm]B\cap\\(0,1\\]\\)[/mm] definiert wird und bestimmen Sie
> > > die Jordan-Zerlegung.
Ich nutze hier die Seiten 4 und 5.
Definieren wir $F(x) := [mm] x^2+ \frac{1}{x}$, [/mm] so ist $F$ differenzierbar auf $(0,1]$ mit Ableitung $f(x) := 2x - [mm] \frac{1}{x^2}$. [/mm] Die Nullstelle dieser Funktion liegt bei [mm] $x_0 [/mm] := [mm] \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
[/mm]
Auf $A := (0, [mm] x_0]$ [/mm] gilt $f [mm] \ge [/mm] 0$, auf $B := [mm] (x_0, [/mm] 1]$ ist $f < 0$.
Damit ist die Jordan-Zerlegung gegeben durch
[mm] $\nu^{+}(E) [/mm] := [mm] \int_{E \cap A}f [/mm] \ d [mm] \lambda$, $\nu^{-}(E) [/mm] := [mm] \int_{E \cap B}f [/mm] \ d [mm] \lambda$, $\mu [/mm] = [mm] \nu^{+} [/mm] - [mm] \nu^{-}$. [/mm] (*)
Die Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegung ist ein Satz (steht auch in oben genannten Dokument auf Seite 4).
Weil $f$ auf $A$ bzw. $B$ nur positive resp. negative Werte annimmt, ist es integrierbar. Damit sind durch [mm] $\nu^{+}, \nu^{-}$ [/mm] Maße gegeben. Außerdem ist [mm] $\nu^{-}$ [/mm] endlich. Damit ist die Differenz in (*) wohldefiniert.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 06.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, danke, das ist sehr verständlich.
Nur eine blöde Frage noch, weil ich da grad auf der Leitung stehe:
>
>
> > > > Zeigen Sie, dass durch [mm]\mu\\(\\(0,x\\]\\) = x^2 + \frac{1}{x}[/mm]
> > > > (0<x<=1) eine signierte Maßfunktion auf
> > > > ((0,1],[mm]B\cap\\(0,1\\]\\)[/mm] definiert wird und bestimmen Sie
> > > > die Jordan-Zerlegung.
>
>
> Ich nutze
> hier
> die Seiten 4 und 5.
>
> Definieren wir [mm]F(x) := x^2+ \frac{1}{x}[/mm], so ist [mm]F[/mm]
> differenzierbar auf [mm](0,1][/mm] mit Ableitung [mm]f(x) := 2x - \frac{1}{x^2}[/mm].
> Die Nullstelle dieser Funktion liegt bei [mm]x_0 := \frac{1}{\sqrt[3]{2}}[/mm].
Wie hast du die berechnet?
>
> Auf [mm]A := (0, x_0][/mm] gilt [mm]f \ge 0[/mm], auf [mm]B := (x_0, 1][/mm] ist [mm]f < 0[/mm].
>
> Damit ist die Jordan-Zerlegung gegeben durch
>
> [mm]\nu^{+}(E) := \int_{E \cap A}f \ d \lambda[/mm], [mm]\nu^{-}(E) := \int_{E \cap B}f \ d \lambda[/mm],
hier haben wir [mm] \lambda, [/mm] weil E Lebesgue-messbar ist oder?
> [mm]\mu = \nu^{+} - \nu^{-}[/mm]. (*)
>
> Die Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegung ist ein Satz (steht
> auch in oben genannten Dokument auf Seite 4).
>
> Weil [mm]f[/mm] auf [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm] nur positive resp. negative Werte
> annimmt, ist es integrierbar. Damit sind durch [mm]\nu^{+}, \nu^{-}[/mm]
> Maße gegeben. Außerdem ist [mm]\nu^{-}[/mm] endlich. Damit ist die
> Differenz in (*) wohldefiniert.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Definieren wir [mm]F(x) := x^2+ \frac{1}{x}[/mm], so ist [mm]F[/mm]
> > differenzierbar auf [mm](0,1][/mm] mit Ableitung [mm]f(x) := 2x - \frac{1}{x^2}[/mm].
> > Die Nullstelle dieser Funktion liegt bei [mm]x_0 := \frac{1}{\sqrt[3]{2}}[/mm].
>
> Wie hast du die berechnet?
Über den Ansatz
$f(x) = 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $2x = [mm] \frac{1}{x^2}$ $\gdw$ $x^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] ...
> > Auf [mm]A := (0, x_0][/mm] gilt [mm]f \ge 0[/mm], auf [mm]B := (x_0, 1][/mm] ist [mm]f < 0[/mm].
>
> >
> > Damit ist die Jordan-Zerlegung gegeben durch
> >
> > [mm]\nu^{+}(E) := \int_{E \cap A}f \ d \lambda[/mm], [mm]\nu^{-}(E) := \int_{E \cap B}f \ d \lambda[/mm],
> hier haben wir [mm]\lambda,[/mm] weil E Lebesgue-messbar ist oder?
Weil man [mm] $\lambda$ [/mm] auf der gegebenen Sigma-Algebra definieren kann und eine Dichte von [mm] $\mu$ [/mm] bzgl. [mm] $\lambda$ [/mm] gegeben hat (nämlich f). Denn $F$ ist ja so etwas wie die Stammfunktion der Dichte.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:45 Mo 07.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Super, danke, steppenhahn!
Jetzt ist mir dazu alles klar (:
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