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| Aufgabe | | Es sei A eine quadratische Matrix mit Einträgen in [mm] \IC. [/mm] Weiter ist bekannt, dass ihr charakteristisches Polynom [mm] x^4-x^2 [/mm] ist und sie Rang 2 hat. Wie sieht die Jordan-Normalform von A aus? Begründe. |
Hallo!
Die Eigenwerte von A sind ja 0, 1 und -1. D.h. die Jordan-Normalform ist eine 4x4-Matrix. Außerdem habe ich gelesen, dass eine Matrix und ihre Jordan-Normalform denselben Rang haben. (Allerdings wurde diese Tatsache bei uns noch nicht bewiesen. Wie würde ich das denn machen?)Also hat auch [mm] J_A [/mm] Rang 2.
Als schlage ich als Jordan-Normalform
[mm] J_A [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 } [/mm] vor.
Was sagt ihr dazu?
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Hallo rollroll,
du hast die gesuchte Jordan-Normalform gefunden.
Dass zwei ähnliche Matrizen selben Rang haben kann man z.B. relativ schnell aus der Rangungleichung
$rg(AB) [mm] \leq min\{rg(A), rg(B)\}$
[/mm]
folgern.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Sa 22.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Super, danke.
Also, wenn ich zeigen will, dass zwei ähnliche matrizen denselben rang haben, muss ich doch
[mm] rk(A)=rk(P^{-1}BP) [/mm] und [mm] rk(B)=rk(P^{-1}AP) [/mm] gelten.
Folgt daraus nicht schon dirket, dass rk(A)=rk(B)?
Und wie kann ich deinen Hinweis den hier einsetzen?
Danke schonmal!
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> Super, danke.
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> Also, wenn ich zeigen will, dass zwei ähnliche matrizen
> denselben rang haben, muss ich doch
>
> [mm]rk(A)=rk(P^{-1}BP)[/mm] und [mm]rk(B)=rk(P^{-1}AP)[/mm] gelten.
>
Achtung:
[mm] $A=P^{-1}BP \Rightarrow PAP^{-1}=B$.
[/mm]
und deine Gleichungen gelten natürlich, da je Gleichung nur verschiedene Darstellungen einer Matrix da stehen.
> Folgt daraus nicht schon dirket, dass rk(A)=rk(B)?
Ich wüßte nicht wie. Wenn du einen Beweis hast, her damit.
> Und wie kann ich deinen Hinweis den hier einsetzen?
Einsetzen der obigen Gleichungen für A und B.
> Danke schonmal!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 22.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Also dann
rk(AB) [mm] \le [/mm] min{ [mm] (rk(P^{-1}BP) [/mm] , [mm] rk(PAP^{-1}) [/mm] }.
Ich habe gerade gefunden, dass [mm] rk(A)=rk(P^{-1}BP) \le [/mm] rk(B). Da wurde doch bestimmt die von dir angegebene Ungleichung verwendet. Sehe aber leider gerade nicht, wie...
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> Ich habe gerade gefunden, dass [mm]rk(A)=rk(P^{-1}BP) \le[/mm]
> rk(B). Da wurde doch bestimmt die von dir angegebene
> Ungleichung verwendet. Sehe aber leider gerade nicht,
> wie...
Ja. Was ist der Rang einer invertierbaren Matrix?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 22.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Eine invertierbare Matrix hat vollen Rang, also n.
Alsist rk(B) [mm] \le [/mm] rk(P)?
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> Eine invertierbare Matrix hat vollen Rang, also n. Alsist
> rk(B) [mm]\le[/mm] rk(P)?
Ja, aber darum geht's doch gar nicht.
Aus [mm] $rg(AB)\leqmin \{rg(A),rg(B)\}$ [/mm] folgt
[mm] $rg(ABC)\leq [/mm] min [mm] \{rg(A),rg(B),rg(C)\}$ [/mm] (ist klar warum?)
und damit:
[mm] rg(P^{-1}BP)\leq min\{rg(P^{-1}),rg(B),rg(P)\} [/mm] = min [mm] \{n ,rg(B),n\}=rg(B)$ [/mm]
Edit: Falsches = durch richtiges [mm] $\leq [/mm] $ ersetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 22.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke!! Jetzt ist es klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Sa 22.06.2013 | | Autor: | chilobo |
Könnte nicht unter der ersten 0 in der Diagonale nicht auch noch eine 1 stehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Sa 22.06.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo,
meinst du oberhalb der Diagonale also das hier?
$ [mm] J_A [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0& 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Wie rollroll im Eingangspost bereits schrieb hat die Jordanmatrix auch Rang 2.
Diese matrix hat einen anderen Rang.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 24.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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