Jensensche Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Beweisen sie die Jensensche Ungleichung:
Sei X ein VR, K eine konvexe Teilmange von X und f: K [mm] \to \IR [/mm] konvex.
Dann gilt für alle m [mm] \in \IN [/mm] , [mm] x_1,...,x_m \in [/mm] K , [mm] k_1,...,k_m \in \IR_{ \ge 0 } [/mm] ,
[mm] \summe_{i=1}^{m} k_i [/mm] = 1:
[mm] f(\summe_{i=1}^{m} k_i x_i) \le \summe_{i=1}^{m} k_i f(x_i) [/mm] . |
ALso ich hab die Ungleichung mit Hilfe von Induktion bewiesen:
I.A.: m=1
[mm] f(k_1 x_1) [/mm] | [mm] k_1=1
[/mm]
= [mm] f(x_1)
[/mm]
= [mm] k_1 f(x_1)
[/mm]
I.S.: m [mm] \to [/mm] m+1
[mm] f(\summe_{i=1}^{m+1} k_i x_i) [/mm]
= [mm] f(\summe_{i=1}^{m} k_i x_i [/mm] + [mm] k_{m+1} x_{m+1}) [/mm] (*)
[mm] \le \summe_{i=1}^{m} k_i [/mm] f( [mm] x_i [/mm] ) + [mm] k_{m+1} f(x_{m+1})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{m+1}k_i f(x_i) [/mm] .
Bin mir bei (*) nicht so sicher ob ich das sofort folgern kann.
Wende doch eigentlich die Konvexität von f auf [mm] x_{m+1} [/mm] an, oder?
Mfg
Imke
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Hallo Imke,
so wie Du den Induktionsschritt hingeschrieben hast, sehe ich nicht, wo dort die Bedingung [mm] $\sum_{i=0}^{m+1} k_i=1, k_i \ge [/mm] 0$ ins Spiel kommt  . Und wie willst Du die Konvexität an der Stelle [mm] $x_{m+1}$ [/mm] ausnutzen-- in der Def. der konvexen Funktion kommen doch *zwei* Werte aus dem Def.bereich von f vor (die Du aber nat. im Beweis passend wählen kannst). Du könntest z.B. [mm] $t=\sum_{k=1}^m$ [/mm] setzen; wenn Du $t [mm] \ne [/mm] 0$ zeigen kannst, kriegst Du ganz einfach passende Konstanten um die IV anzuwenden.
Hth
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 So 29.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
Induktionsschritt:
Seien [mm] k_{n+1} [/mm] = [mm] 1-\sum_{i=1}^m k_i, \quad [/mm] k := [mm] k_1+\ldots+\l k_n, \quad x:=\frac{k_1}{k}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{k_m}{k}x_m [/mm]
[mm] f(\sum_{i=1}^m k_ix_i [/mm] + [mm] k_{m+1}x_{m+1}) [/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] f(\sum_{i=1}^m k_ix_i [/mm] + [mm] (1-\sum_{i=1}^m k_i)x_{m+1})\\ [/mm]
[mm] \quad [/mm] = f(k x + [mm] (1-k)x_{m+1})\\ [/mm]
[mm] \quad \le [/mm] k f(x) + (1-k) [mm] f(x_{m+1})\\ [/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] (k_1 [/mm] f(x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_m [/mm] f(x) + [mm] k_{m+1}f(x_{m+1})\\ [/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] k_1 f(\frac{k_1}{k}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{k_m}{k}x_m) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_m f(\frac{k_1}{k}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{k_m}{k}x_m) [/mm] + [mm] k_{m+1}f(x_{m+1})\\
[/mm]
(jetzt mit I.V und [mm] k_1+...k_m [/mm] =1)
[mm] \quad [/mm] = [mm] k_1 f(x_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] k_m f(x_m) [/mm] + [mm] k_{m+1} f(x_{m+1}) [/mm]
Jetzt richtig?
Mfg Imke
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Hallo Imke,
bevor Du die Ungleichung selbst beweist, mußt Du (falls nicht schon passiert ) noch folgendes zeigen:
Ist $X$ ein VR, $S$ eine konvexe Teilmenge von $X$$. Dann gilt für alle $n [mm] \in \IN, k_1,\ldots, k_n \in \IR_{>=0}, \vec x_1, \ldots, \vec x_n \in [/mm] S$
[mm]\sum_{i=1}^n k_i\vec x_i \in S.[/mm]
> Induktionsschritt:
> Seien [mm]k_{n+1}[/mm] = [mm]1-\sum_{i=1}^m k_i, \quad[/mm] k :=
> [mm]k_1+\ldots+\l k_n, \quad x:=\frac{k_1}{k}x_1[/mm] + [mm]\ldots[/mm] +
> [mm]\frac{k_m}{k}x_m[/mm]
>
> [mm]f(\sum_{i=1}^m k_ix_i[/mm] + [mm]k_{m+1}x_{m+1})[/mm]
> [mm]\quad[/mm] = [mm]f(\sum_{i=1}^m k_ix_i[/mm] + [mm](1-\sum_{i=1}^m k_i)x_{m+1})\\[/mm]
> [mm]\quad[/mm] = f(k x + [mm](1-k)x_{m+1})\\[/mm]
> [mm]\quad \le[/mm] k f(x) + (1-k) [mm]f(x_{m+1})\\[/mm]
[OK]Ausnutzen der Konvexität von $F$
> [mm]\quad[/mm] = [mm](k_1[/mm] f(x) + [mm]\ldots[/mm] + [mm]k_m[/mm] f(x) + [mm]k_{m+1}f(x_{m+1})\\[/mm]
Hm, warum hast Du die Summe für $k$ eingesetzt? Den Term $kf(x)$ kannst Du doch erstmal mit der IV auswerten [frown]
> [mm]\quad[/mm] = [mm]k_1 f(\frac{k_1}{k}x_1[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\frac{k_m}{k}x_m)[/mm]
> + [mm]\ldots[/mm] + [mm]k_m f(\frac{k_1}{k}x_1[/mm] + [mm]\ldots[/mm] +
> [mm]\frac{k_m}{k}x_m)[/mm] + [mm]k_{m+1}f(x_{m+1})\\[/mm]
>
> (jetzt mit I.V und [mm]k_1+...k_m[/mm] =1)
>
[mm] $k_1 +\ldots +k_{m+1}=1$ [/mm] 
> [mm]\quad[/mm] = [mm]k_1 f(x_1)[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]k_m f(x_m)[/mm] + [mm]k_{m+1} f(x_{m+1})[/mm]
>
> Jetzt richtig?
Jo!! Nur mußt Du nat. ausschließen, daß $k$ 0 ist, was aber genau dann passiert, wenn [mm] $k_{m+1}=1$ [/mm] ist. Den Fall kannst Du aber getrost ausschließen (warum?).
Mft
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 29.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
Mmmh, vielleicht weil [mm] k_1,...,k_m [/mm] aus [mm] \IR_ [/mm] { [mm] \0}, [/mm] somit auch k_ {m+1} auch aus [mm] \IR_ [/mm] { [mm] \0} [/mm] ?
Mfg
Imke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Imke,
Ok, seien $k_1, \ldots, k_{m+1} \in \IR_{\ge 0}$ mit $k_1+\ldots+k_{m+1}=1$ und $K_{m+1}=1$. Also muß doch die Summe der $k_1, \ldots, k_m$ 0 sein, denn die ist $=1-k_{m+1}$.
Die Idee ist, daß, wenn die Summe zweier (oder beliebig vieler) nichtnegativer Zahlen 0 ist, alle Summanden 0 sein müssen. Und Du hättest dann
$f\left(\summe_{i=1}^{m+1} k_ix_i\right) =f(x_{m+1} =k_{m+1}f(x_{m+1) \le \summe_{i=0}^{m+1} k_if(x_i)$.
Letztlich hast Du aber (Induktionsanfang ) den Fall, daß nur ein "Punkt" der konvexen Menge gewählt wird, schon abgehakt.
Hoffe meine Antwort kommt für Dich nicht zu spät .
Mfg
zahlenspieler
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