Jacobi Symbol < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Determine, whether there exists any solutions:
c) [mm] u^{2} \equiv [/mm] 71 (mod 159)
Hallo
Eigentlich sehr einfach, nur finde ich meinen Fehler nicht.. Beim Anwenden des Jacobi-Symbols kommt bei mir 1 raus, was nach wolframalpha auch richtig ist..
Trotzdem hat die Gleichung keine ganzzahlige Lösung (Wieder nach Wolframalpha..).. wie kann das sein?
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Di 13.04.2010 | | Autor: | statler |
> Determine, whether there exists any solutions:
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> c) [mm]u^{2} \equiv[/mm] 71 (mod 159)
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Guten Morgen!
> Eigentlich sehr einfach, nur finde ich meinen Fehler
> nicht.. Beim Anwenden des Jacobi-Symbols kommt bei mir 1
> raus, was nach wolframalpha auch richtig ist..
>
> Trotzdem hat die Gleichung keine ganzzahlige Lösung
> (Wieder nach Wolframalpha..).. wie kann das sein?
Betrachte mal [mm] x^{2} \equiv [/mm] 2 (mod 15)
Für das Jacobi-Symbol ist [mm] (\bruch{2}{15}) [/mm] = [mm] (\bruch{2}{3})*(\bruch{2}{5}) [/mm] = [mm] (-1)\*(-1) [/mm] = 1, weil 2 ja in beiden Fällen Nichtrest ist.
Aber die Kongruenz ist natürlich nicht lösbar, wenn 2 QR modulo 15 wäre, dann erst recht mod 3 und mod 5.
Tja, und nun?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 13.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
> > Determine, whether there exists any solutions:
> >
> > c) [mm]u^{2} \equiv[/mm] 71 (mod 159)
> >
> Guten Morgen!
>
> > Eigentlich sehr einfach, nur finde ich meinen Fehler
> > nicht.. Beim Anwenden des Jacobi-Symbols kommt bei mir 1
> > raus, was nach wolframalpha auch richtig ist..
> >
> > Trotzdem hat die Gleichung keine ganzzahlige Lösung
> > (Wieder nach Wolframalpha..).. wie kann das sein?
>
> Betrachte mal [mm]x^{2} \equiv[/mm] 2 (mod 15)
>
> Für das Jacobi-Symbol ist [mm](\bruch{2}{15})[/mm] =
> [mm](\bruch{2}{3})*(\bruch{2}{5})[/mm] = [mm](-1)\*(-1)[/mm] = 1, weil 2 ja
> in beiden Fällen Nichtrest ist.
> Aber die Kongruenz ist natürlich nicht lösbar, wenn 2 QR
> modulo 15 wäre, dann erst recht mod 3 und mod 5.
> Tja, und nun?
Na, danke erstmal..
Ich hab also 159 = 3*53 und somit ist für keine der beiden Primfaktoren die Kongruenz lösbar..
Danke für die Erklärung :) Hatte nicht im Kopf, dass das Symbol die Quadratreste nicht vorhersagt..
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> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
>
Grüsse, Amaro
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