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| Aufgabe | | Wir hatten die Gleichung einer Fläche gegeben und mussten die Normale in einem (gegebenem Punkt P) aufstellen. |
Wir sind dann so vorgegangen, dass wir die Jacobi Matrix der Gleichung der Fläche berechnet haben. Dann haben wir den gegebenen Punkt P in die Jacobi Matrix eingesetzt und sagen wir einen Punkt JP herausbekommen.
Die Gleichung der Normalen lautete dann :
P + [mm] \lambda [/mm] * JP
Warum setzt man hier in die Geradengleichung der Normalen den Punkt JP den man vom Einsetzen des Punktes in die Jacobimatrix erhalten hat, ein?
Wie kommt man drauf, dass genau das der Vektor ist?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Charlie,
> Wir hatten die Gleichung einer Fläche gegeben und mussten
> die Normale in einem (gegebenem Punkt P) aufstellen.
> Wir sind dann so vorgegangen, dass wir die Jacobi Matrix
> der Gleichung der Fläche berechnet haben. Dann haben wir
> den gegebenen Punkt P in die Jacobi Matrix eingesetzt und
> sagen wir einen Punkt JP herausbekommen.
>
> Die Gleichung der Normalen lautete dann :
>
> P + [mm]\lambda[/mm] * JP
>
> Warum setzt man hier in die Geradengleichung der Normalen
> den Punkt JP den man vom Einsetzen des Punktes in die
> Jacobimatrix erhalten hat, ein?
> Wie kommt man drauf, dass genau das der Vektor ist?
Ich denke hier wäre ein wenig mehr Kontext sehr angebracht.
Ich nehme an, dass die Fläche eine Untermannigfaltigkeit ist.
Kennst Du diesen Begriff?
Falls ja findest Du hier eine mögliche Erklärung:
Ist P Punkt auf der Untermannigfaltigkeit M, so gibt es eine Umgebung
U von P mit [mm] $U\cap M=\mathcal{N}(g)=\{x:\IR^k:g(x)=0\} [/mm] mit einer
stetig differenzierbaren Funktion [mm] g:\IR^k\to\IR^{N-k}.
[/mm]
(Das ist, die Untermannigfaltigkeit ist lokal Nullstellenmenge.)
Ausgehend davon ist der Normalenraum T_PM im Punkt P der durch
die Zeilenvektoren der Matrix Dg(P) aufgespannte Raum.
LG
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| Aufgabe | Fläche F: [mm] x^{2}*y*z+3*y^{2}-2*x*z^{2}+8*z=0
[/mm]
Punkt (1,2,-1)
Dann haben wir die Jacobi Matrix berechnet mit Jacobi F(1,2,-1)=(-6,11,14)
und als Gleichung der Normalen bekommen:
(1, 2, -1) + [mm] \lambda [/mm] * (-6, 11, 14) |
Nein, diesen Begriff kenne ich leider nicht.
Ich habe oben die genaue Angabe und die Lösung die wir bekommen haben hingeschrieben.
Ich frage mich nur warum man als Vektor (-6, 11, 14) nehmen darf. Die Erklärung oben habe ich leider nicht so ganz verstanden.
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Hallo Charlie,
> Fläche F: [mm]x^{2}*y*z+3*y^{2}-2*x*z^{2}+8*z=0[/mm]
>
> Punkt (1,2,-1)
>
> Dann haben wir die Jacobi Matrix berechnet mit Jacobi
> F(1,2,-1)=(-6,11,14)
>
> und als Gleichung der Normalen bekommen:
>
> (1, 2, -1) + [mm]\lambda[/mm] * (-6, 11, 14)
Im Prinzip handelt es sich um oben genannte Vorgehensweise.
Die Funktion F entspricht der Funktion g und (-6,11,14) ist gerade ein /der Zeilenvektor der Jacobi-Matrix DF(P).
Da dir die Theorie jedoch nicht vertraut ist, wird dir das womöglich wenig
nützen. Deswegen folgt hier noch eine 'anschauliche' Interpretation:
Die Normale zeigt in die Richtung, wo der Gradient am stärksten wächst.
Das ist gerade die 'Richtung des Zeilenvektors', da dieser orthogonal auf den Tangentialvektoren (Kern der Jacobimatrix) steht. In Richtung der Tangentialvektoren ist das Wachstum des Gradienten am geringsten
(da die Fläche als Nullstellenmenge gegeben ist).
Viel mehr als das habe ich zum Verständnis leider nicht zu bieten.
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> Ich frage mich nur warum man als Vektor (-6, 11, 14) nehmen
> darf. Die Erklärung oben habe ich leider nicht so ganz
> verstanden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Do 03.05.2012 | | Autor: | Charlie22 |
Okay danke :) Mit Beispiel ist es anschaulicher. Leider kenne ich mich noch nicht so gut aus mit der Jacobi Matrix und allem Drum und Dran aber ich verstehe es nun ein wenig besser als vorher.
Danke! :)
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