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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 10.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Es seien f(x,y) = [mm] \pmat{ x+y \\ x-y } [/mm] und g(x,y) = x²+y². Differenziere
a) g [mm] \circ [/mm] f (Kettenregel)
b) h, wobei h = g [mm] \circ [/mm] f |
Bei a) habe ich (in verkürzter Form) folgendes rausbekommen:
Jf(x,y)= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
Jg(x,y)= [mm] (2a_{1},2a_{2}) [/mm] für [mm] a_{1}= [/mm] x+y für [mm] a_{2}=x-y
[/mm]
[mm] Jg|_{f(x,y)}= [/mm] (2x+2y, 2x-2y)
[mm] Jg|_{f(x,y)}*Jf|_{x,y}= [/mm] (2x+2y , [mm] 2x-2y)*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }=
[/mm]
[mm] =\pmat{ 4x \\ 4y }
[/mm]
Bei b) habe ich bis jetzt:
h(x,y) = g( f(x,y) )
[mm] g(a_{1},a_{2}) [/mm] = [mm] a_{1}² [/mm] + [mm] a_{2}²
[/mm]
für [mm] a_{1}= [/mm] x+y
für [mm] a_{2}= [/mm] x-y
=(x+y)²+(x-y)²
So, und nun weiß ich nicht mehr weiter...was muss ich jetzt im Hinblick auf die Lösung tun?
mfg
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Hallo medion,
> Es seien f(x,y) = [mm]\pmat{ x+y \\ x-y }[/mm] und g(x,y) = x²+y².
> Differenziere
> a) g [mm]\circ[/mm] f (Kettenregel)
> b) h, wobei h = g [mm]\circ[/mm] f
> Bei a) habe ich (in verkürzter Form) folgendes
> rausbekommen:
>
> Jf(x,y)= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> Jg(x,y)= [mm](2a_{1},2a_{2})[/mm] für [mm]a_{1}=[/mm] x+y für
> [mm]a_{2}=x-y[/mm]
>
> [mm]Jg|_{f(x,y)}=[/mm] (2x+2y, 2x-2y)
>
> [mm]Jg|_{f(x,y)}*Jf|_{x,y}=[/mm] (2x+2y , [mm]2x-2y)*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }=[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 4x \\ 4y }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei b) habe ich bis jetzt:
>
> h(x,y) = g( f(x,y) )
>
> [mm]g(a_{1},a_{2})[/mm] = [mm]a_{1}²[/mm] + [mm]a_{2}²[/mm]
> für [mm]a_{1}=[/mm] x+y
> für [mm]a_{2}=[/mm] x-y
>
> =(x+y)²+(x-y)²
>
> So, und nun weiß ich nicht mehr weiter...was muss ich jetzt
> im Hinblick auf die Lösung tun?
Bilde den Gradienten von [mm]h\left(x,y\right)[/mm]
grad[mm]\left(h\left(x,y\right)\right)=\pmat{h_{x}\left(x,y\right) \\ h_{y}\left(x,y\right)}[/mm]
>
> mfg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 10.04.2008 | | Autor: | medion |
Ok, dh:
grad h(x,y) = [mm] \vektor{4x \\ 4y}
[/mm]
hmmm, nachdem das gleiche Ergebnis wie bei a) rauskommt, denke ich, dass es richtig ist. Oder?
Danke für die Hilfe!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ok, dh:
>
> grad h(x,y) = [mm]\vektor{4x \\ 4y}[/mm]
genau!
> hmmm, nachdem das gleiche Ergebnis wie bei a) rauskommt,
> denke ich, dass es richtig ist. Oder?
in der Tat 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 10.04.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Gegeben seien f(t)= [mm] \vektor{1 \\ t \\ \wurzel{t}}
[/mm]
und [mm] g(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] x_{1}² [/mm] - [mm] 4x_{1}x_{2}+x_{3}^{4}
[/mm]
Differenziere g [mm] \circ [/mm] f |
Nach dem Motto "Neues Beispiel, neues Problem" bitte ich Euch nochmals um Hilfe:
Jf(t) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{2*\wurzel{t}}}
[/mm]
[mm] \partial g(x_{1},x_{2},x_{3})|_{a} [/mm] = [mm] (2a_{1}-4a_{2} [/mm] , [mm] -4a_{1} [/mm] , [mm] 4a_{3}³)
[/mm]
für [mm] a_{1}= [/mm] 1
für [mm] a_{2}= [/mm] t
für [mm] a_{3}= \wurzel{t}
[/mm]
das sieht dann so aus: (2-4t , -4 , [mm] 4*\wurzel{t} [/mm] ³)
dies multipliziert mit Jf(t) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{2*\wurzel{t}}}
[/mm]
ergibt bei mir: (-4+2t)
kann das stimmen?
mfg
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Hallo medion,
> Gegeben seien f(t)= [mm]\vektor{1 \\ t \\ \wurzel{t}}[/mm]
>
> und [mm]g(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] = [mm]x_{1}²[/mm] - [mm]4x_{1}x_{2}+x_{3}^{4}[/mm]
>
> Differenziere g [mm]\circ[/mm] f
> Nach dem Motto "Neues Beispiel, neues Problem" bitte ich
> Euch nochmals um Hilfe:
>
> Jf(t) = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{2*\wurzel{t}}}[/mm]
>
> [mm]\partial g(x_{1},x_{2},x_{3})|_{a}[/mm] = [mm](2a_{1}-4a_{2}[/mm] ,
> [mm]-4a_{1}[/mm] , [mm]4a_{3}³)[/mm]
> für [mm]a_{1}=[/mm] 1
> für [mm]a_{2}=[/mm] t
> für [mm]a_{3}= \wurzel{t}[/mm]
>
> das sieht dann so aus: (2-4t , -4 , [mm]4*\wurzel{t}[/mm] ³)
>
> dies multipliziert mit Jf(t) = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{1}{2*\wurzel{t}}}[/mm]
>
> ergibt bei mir: (-4+2t)
>
> kann das stimmen?
Das stimmt.
>
> mfg
Gruß
MathePower
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