Iterationsvorschrift, Newton < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 06.06.2012 | | Autor: | taugenix |
| Aufgabe | Hi,habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Gegeben Sei die Funktion f(x):=2x³ + 10x² -2x -18
Geben Sie die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren und das vereinfachte Newton-Verfahren mit dem Startwert [mm] x^{(0)}=0 [/mm] an.
[mm] x^{(k+1)}=\bruch{4(x^{(k)})^{3}+LEER * (x^{(k)})^{2}+ LEER*(x^{(k)})+LEER}{LEER*(x^{(k)})^{2}+LEER*(x^{(k)})+LEER}
[/mm]
In die leeren Felder muss ich was einsetzten. |
Mein Problem ist, dass ich garnicht weiss was hier verlangt wird.
Das Newton Verfahren kenn ich und kann es auch anwenden:
[mm] x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bruch{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}
[/mm]
Weiss jemand Rat?
mfg
david
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo taugenix,
> Hi,habe Probleme bei folgender Aufgabe:
> Gegeben Sei die Funktion f(x):=2x³ + 10x² -2x -18
> Geben Sie die Iterationsvorschrift für das
> Newton-Verfahren und das vereinfachte Newton-Verfahren mit
> dem Startwert [mm]x^{(0)}=0[/mm] an.
>
> [mm]x^{(k+1)}=\bruch{4(x^{(k)})^{3}+LEER * (x^{(k)})^{2}+ LEER*(x^{(k)})+LEER}{LEER*(x^{(k)})^{2}+LEER*(x^{(k)})+LEER}[/mm]
>
> In die leeren Felder muss ich was einsetzten.
> Mein Problem ist, dass ich garnicht weiss was hier
> verlangt wird.
> Das Newton Verfahren kenn ich und kann es auch anwenden:
>
> [mm]x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bruch{f(x^{(k)})}{f'(x^{(k)})}[/mm]
> Weiss jemand Rat?
Setze die Funktionsvorschrift in die von Dir angegebene Iterationsvorschrift ein.
Bringe diese dann auf einen gemeinsamen Nenner.
Dann solltest Du die Lücken ausfüllen können.
> mfg
> david
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 06.06.2012 | | Autor: | taugenix |
Danke, habe erst garnicht gesehen, dass das einfach nur alles auf einen Nenner gebracht ist. Ist ja einfach ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 06.06.2012 | | Autor: | taugenix |
| Aufgabe | Habe jetzt noch eine Frage zum vereinfachten Newton-Verfahren:
die Funklon sei wieder f(x)=2x³ +10x² -2x -18
Gesucht ist die Iterationsvorschrift für das vereinfachtre Newton-Verfahren, mit dem Startwert [mm] x^{(0)}=0 [/mm] |
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass die Iteration des Quasi-Newton-Verfahren geschrieben werden kann als:
[mm] x′^{(k+1)}=x^{(k)}-(A^{(k)})^{-1} f(x^{(k)}) [/mm] wobei [mm] A^{(k)}=Df(x^{(0)}. [/mm] Dabei ist D die Jacobi Matrix von f(x).
Ich komme somit auf:
[mm] (x^{(k)})^{3}+5(x^{(k)})^{2}-1(x^{(k)})-9
[/mm]
Kann das überhaupt stimmen?
hier noch ein paar Zwischenschritte um den Fehler vielleicht eingrenzen zu können:
[mm] A^{(k)}=Df(x^{(0)}=(6x+20x-2)*(-18)
[/mm]
[mm] (A^{(k)})^{-1}=- \bruch{1}{18(6x²+20x-2)}
[/mm]
hier habe ich dann für x=0 gesetzt, weil ich sonst kein vernünftiges Ergebnis bekomme:
=> [mm] 0-(A^{(k)})^{-1} [/mm] * [mm] f(x^{(k)})= \bruch{2x^3 +10x^2 -2x -18}{-18(6x+20x-2)}
[/mm]
...
sehe grad das würde zu einem leicht anderen ergebnis führen, da ich hier durch 36 teile und nicht durch 2 wie bei neimen ersten versuch.
Egal,ich vermute beides ist falsch,weil ich in irgendeinem Schritt einfach x=0 setzte.
Tu ich das jedoch nicht erhalte ich für
[mm] A^{-1}*f(x) [/mm] = [mm] \bruch{-2x^3 +10x^2 -2x-18}{18(6x^2 +20x -2}. [/mm] Damit komme ich niemals auf das vorgegebene Lösungsschema:
[mm] x^{(k+1)}=LEER [/mm] * [mm] (x^{(k)})^{3}+LEER [/mm] * [mm] (x^{(k)})^{2}+LEER*(x^{(k)})+LEER
[/mm]
Wie funktioniert das richtig?
mfg
david
edit:Gibt es für den ersten Schritt überhaupt einen Unterscheid zwischen dem Newton-Verfahren und dem vereinfachten Newton -Verfahren?
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Hallo taugenix,
> Habe jetzt noch eine Frage zum vereinfachten
> Newton-Verfahren:
> die Funklon sei wieder f(x)=2x³ +10x² -2x -18
> Gesucht ist die Iterationsvorschrift für das
> vereinfachtre Newton-Verfahren, mit dem Startwert
> [mm]x^{(0)}=0[/mm]
>
>
> In der Vorlesung haben wir gelernt, dass die Iteration des
> Quasi-Newton-Verfahren geschrieben werden kann als:
>
> [mm]x′^{(k+1)}=x^{(k)}-(A^{(k)})^{-1} f(x^{(k)})[/mm] wobei
> [mm]A^{(k)}=Df(x^{(0)}.[/mm] Dabei ist D die Jacobi Matrix von
> f(x).
>
> Ich komme somit auf:
> [mm](x^{(k)})^{3}+5(x^{(k)})^{2}-1(x^{(k)})-9[/mm]
> Kann das überhaupt stimmen?
>
> hier noch ein paar Zwischenschritte um den Fehler
> vielleicht eingrenzen zu können:
> [mm]A^{(k)}=Df(x^{(0)}=(6x+20x-2)*(-18)[/mm]
> [mm](A^{(k)})^{-1}=- \bruch{1}{18(6x²+20x-2)}[/mm]
> hier habe ich
> dann für x=0 gesetzt, weil ich sonst kein vernünftiges
> Ergebnis bekomme:
> => [mm]0-(A^{(k)})^{-1}[/mm] * [mm]f(x^{(k)})= \bruch{2x^3 +10x^2 -2x -18}{-18(6x+20x-2)}[/mm]
>
Woher kommt die "-18" im Nenner?
Statt der "0" ist ein "x" zu schreiben:
[mm]\red{x}-\bruch{2x^3 +10x^2 -2x -18}{6x^{\blue{2}}+20x-2}[/mm]
Und das bringst Du jetzt auf den Hauptnenner.
> ...
> sehe grad das würde zu einem leicht anderen ergebnis
> führen, da ich hier durch 36 teile und nicht durch 2 wie
> bei neimen ersten versuch.
>
> Egal,ich vermute beides ist falsch,weil ich in irgendeinem
> Schritt einfach x=0 setzte.
> Tu ich das jedoch nicht erhalte ich für
> [mm]A^{-1}*f(x)[/mm] = [mm]\bruch{-2x^3 +10x^2 -2x-18}{18(6x^2 +20x -2}.[/mm]
> Damit komme ich niemals auf das vorgegebene
> Lösungsschema:
> [mm]x^{(k+1)}=LEER[/mm] * [mm](x^{(k)})^{3}+LEER[/mm] *
> [mm](x^{(k)})^{2}+LEER*(x^{(k)})+LEER[/mm]
>
> Wie funktioniert das richtig?
>
> mfg
> david
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 06.06.2012 | | Autor: | taugenix |
Danke für die Antwort.
Leider leuchtet mir das nicht ein.
Bringe ich den Term auf den Hauptnenner bekomme ich:
[mm] \bruch{4x^3 +10x^2 +18}{6x²+20x-2}
[/mm]
Für das Ergebnis ist aber die Form fest vorgegeben und da gibt es keinen Bruch
Ich mache es nochmal Schritt für Schritt:
1.Die Jacobimatrix von f(x) ist einfach die Abl. da wir im 1-Dim. sind:
6x²+20x-2
An der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist die Jac.Matrix=-2
2.Die Inverse ist somit -1/2
3.Das wird multipliziert mit f(x). Das ergebnis nenn ich mal groß "X"
4.zum Schluss noch x-X
5.Ich bekomme also: [mm] x^{(k+1)}=(x^{(k)})^{3}+5(x^{(k)})^{2}+0(x^{(k)})-9
[/mm]
Dürfte jetzt so stimmen oder?
gruß
david
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Hallo taugenix,
> Danke für die Antwort.
> Leider leuchtet mir das nicht ein.
> Bringe ich den Term auf den Hauptnenner bekomme ich:
> [mm]\bruch{4x^3 +10x^2 +18}{6x²+20x-2}[/mm]
>
> Für das Ergebnis ist aber die Form fest vorgegeben und da
> gibt es keinen Bruch
> Ich mache es nochmal Schritt für Schritt:
>
> 1.Die Jacobimatrix von f(x) ist einfach die Abl. da wir im
> 1-Dim. sind:
> 6x²+20x-2
> An der Stelle [mm]x_0=0[/mm] ist die Jac.Matrix=-2
>
> 2.Die Inverse ist somit -1/2
>
> 3.Das wird multipliziert mit f(x). Das ergebnis nenn ich
> mal groß "X"
>
> 4.zum Schluss noch x-X
>
> 5.Ich bekomme also:
> [mm]x^{(k+1)}=(x^{(k)})^{3}+5(x^{(k)})^{2}+0(x^{(k)})-9[/mm]
>
> Dürfte jetzt so stimmen oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> gruß
> david
Gruss
MathePower
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