Iterationsmatrix für Jacobiv. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Sa 12.01.2008 | | Autor: | MaMue |
| Aufgabe | Für die (3x3)Matrix A= (1 -2 2 |-1 1 -1|-2 -2 1) soll man den Spektralradius der Iterationsmatrix für das Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren berechnen.
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Wie soll das gehen? Für die Verfahren brauch man doch ein Glsystem, oder hab ich n Brett vorm Kopf?
Wie man die Spektralradien bestimmt ist mir klar.
Weiß leider nur nicht wie ich die Iterationsmatrix berechne!?
Kann mir jemand einen Ansatz verraten? Bitte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
in deinem Skript müsstest du irgendwo die Matrizenzerlegungen finden, sonst ist die Aufgabe ja witzlos.
Am besten nimmst du zuerst die Standardzerlegung vor:
A = - L + D - R, also konkret:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 1 } [/mm] =- [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Iterationsmatrix H des Jacobi-Verfahrens setzt sich zusammen aus:
H = I - [mm] D^{-1} [/mm] A,
die Iterationsmatrix des Gauss-Seidel-Verfahrens:
H = (-L + [mm] D)^{-1} \cdot [/mm] R.
Die kannst du nun berechnen und davon den Spektralradius.
Alles klar?
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 13.01.2008 | | Autor: | MaMue |
Danke für die schnelle Antwort!
Für das Gauss-Seidel-Verfahren denk ich hab ichs verstanden.
Die EW sind [0; 0,5359; 7,4641] oder?
Nun weiß ich leider nicht (hab kein Skript dazu) wie ich beim Jacobi-Verfahren auf die Matrix I komme? A ist doch bestimmt die ursprüngliche Matrix?!
Aber woher stammt I?
Vielen Dank nochmal für deine schnelle Antwort und vielleicht kannst Du meinen Krampf im Kopf ja lösen  ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 13.01.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab das nicht nachgerechnet, aber wenn du die Matrizen so gebildet hast müsste es stimmen. Der Spektralradius ist ja dann der betragsmäßig größte EW.
Jap, A ist die ursprüngliche Matrix, I die Einheitsmatrix. Sie kommt beim Jacobi-Verfahren folgendermaßen zu stande:
Nennen wie die Iterationsmatrix wieder H:
H = [mm] D^{-1} [/mm] (L+R)
= [mm] D^{-1} [/mm] (D + L + R - D) (in der Klammer künstlich D addiert und wieder abgezogen)
= [mm] D^{-1} [/mm] (D-A) (da L + R - D = - A)
= I - [mm] D^{-1} [/mm] A (da [mm] D^{-1} [/mm] D = I ).
Ok, jetzt klar?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 13.01.2008 | | Autor: | MaMue |
Danke!
Oh man, da hab ich aber n ganzen Wald vorm Kopf gehabt...
Schönes WE noch!
Greetz MaMü
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