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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:45 Sa 15.01.2005 | | Autor: | vadimiron |
Jetzt haben wir das Newton-Verfahren, und dazu kann ich einige kleine Aufgaben nicht loesen. Hilft mir bittteee!! :)
Aufgabenstellung:
Es sei 0,5 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] 1. Die folgende Rechenvorschrift kann zur divisionsfeien Berechnung von [mm] \bruch{1}{b} [/mm] benutzt werden:
[mm] x_{0}=1.5 [/mm] , [mm] x_{i+1}= x_{i}(2-bx_{i}) [/mm] , i=0,1,...
Teilaufgaben, die ich nicht loesen kann:
a)
Was hat diese Iterationsvorschrift mit dem Newton-Verfahren
[mm] x_{i+1}=x_{i}-\bruch{f(x_{i})}{f'(x_{i})}
[/mm]
zu tun?
b)
Es sei [mm] \varepsilon_{i}:=x_{i}-\bruch{1}{b} [/mm] . Bestimme [mm] \varepsilon_{i+1} [/mm] als Funktion von [mm] \varepsilon_{i} [/mm] und b
c)
[mm] \bruch{1}{b} [/mm] soll auf 8 Dezimalstellen genau berechnet werden. Wieviel Iterationen sind maximal noetig?
d)
Tritt bei den Startwerten [mm] x_{0}=1 [/mm] bzw. [mm] x_{0}=2 [/mm] immer Konvergenz ein?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Zu Teilaufgabe a):
Für den Kehrwert x von b gilt ja
[mm] \bruch{1}{x} - b = 0 [/mm]
Die Aufgabenstellung reduziert sich also auf das Nullstellenproblem der Funktion
[mm] f(x) := \bruch{1}{x} - b [/mm]
Wir berechnen also
[mm] f'(x) = -\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
und dadurch die Iterationsfunktion
[mm] it(x) = x - \bruch{f(x)}{f'(x)} = x - \bruch{\bruch{1}{x} - b}{-\bruch{1}{x^{2}}} = x(2 - bx) [/mm]
und damit ist a) beantwortet.
Zu b)
Da du ja [mm]\varepsilon_{i+1}[/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_{i+1} [/mm] und b angegeben kannst, und da [mm] x_{i+1} [/mm] von [mm] x_{i} [/mm] und b abhängt und [mm] x_{i} [/mm] wiederum von [mm]\varepsilon_{i}[/mm] und b, kannst du das lösen.
Zu c) und d)
Hoffentlich hilft dir dieser Anstoß. Ansonsten poste einfach deine bisherigen Ansätze zu c) und d)
Gruß Clemens
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 11:01 So 16.01.2005 | | Autor: | vadimiron |
1)
Danke fuer a), b) ist natuerlich sehr leicht, d) habe ich auch geschafft, aber mit c) habe ich noch Probleme. Wie berechne ich diese 8 Dezimalstellen?
Ich habe gedacht, wenn hier um "wieviel maximal noetig" gefragt wird, dann geht hier vielleicht um einen schlechtesten Fall, zum Beispiel um einen der Grenzwerten, 0,5 oder 1. Aber bin mir nicht sicher, ob es stimmt.
2)
Ich habe Frage noch zu einer Aufgabe, die so lautet:
Mit dem Startwert [mm] y^{(0)}=\pmat{0.40\\0.91} [/mm] erzeugt das Newton-Verfahren die Naeherungswerte
[mm] y^{(1)}=\pmat{0.40157562886530\\0.91584587742185} [/mm] ,
[mm] y^{(2)}=\pmat{0.40157174402980\\0.91582756823934}
[/mm]
Wieviel Naeherungswerte muss man berechnen, um die Loesung bis auf Rechengenaugkeit eines PCs zu bestimmen? Begruenden Sie Ihre Antwort.
Ich habe folgende Idee: Rechengenaugkeit eines PCs kann man als k darstellen. k ist die maximale Anzahl Nachkommastellen, mit der PC arbeiten kann [mm] \Rightarrow [/mm] wir muessen nur feststellen wieviel richtige Stellen erscheint nach jedem Schritt:
wir sehen: 0.4015756 [mm] \to [/mm] 0.4015717 nach zwei Schritte gibts 5 richtige Schritte
und: 0.91584 [mm] \to [/mm] 0.915827 nach zwei Schritte - 4 richtige Schritte
[mm] \Rightarrow [/mm] 0.91..... konvegiert langsamer [mm] \Rightarrow [/mm] wir muessen 0.91... als Basis fuer Berechnung von der Rechengenaugkeit benutzen
4 richtige Stellen nach zwei Schritte [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Stellen pro Schritt [mm] \Rightarrow [/mm] wir brauchen [mm] \bruch{k}{2} [/mm] Naeherungswerte (Schritte) zu berechnen
Was denkt ihr darueber??
Welche Ideen gibts hier noch??
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