Ist die Fkt. stetig, diffbar? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 19.12.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2 sin(1/x),{falls}&{x\not=0} \\ 0, {falls}&{x=0}. \end{cases}
[/mm]
ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar, aber ihre Ableitung f' ist im Punkt x=0 unstetig. |
Hi,
also ich muss ja für die Differenzierbarkeit von f erst mal zeigen, dass f stetig ist. Da habe ich allerdings schon ein Problem, nämlich wie kann ich den linksseitigen und rechtsseitigen Limes bei einer Sinus-Funktion bilden. Man muss ja schauen ob der links- und rechtsseitige Limes mit [mm] x\to0 [/mm] den gleichen Grenzwert hat. In dem Fall 0, sonst wäre die Funktion in x=0 nicht stetig. Wie kann man das aber bei trigonometrischen Funktionen machen? Kenne das nur von Polynomen.
Bei der Differenzierbarkeit der Ableitung, habe ich schon mal f' gebildet: f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x). Hoffe die ist so richtig. Hier stellt sich bei mir das gleiche Problem, denn auch hier muss ich ja links-/rechts-Limes bilden...
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? ;)
Gruß
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 19.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> also ich muss ja für die Differenzierbarkeit von f erst
> mal zeigen, dass f stetig ist.
Nein.
> Bei der Differenzierbarkeit der Ableitung, habe ich schon
> mal f' gebildet: f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x). Hoffe die ist
> so richtig.
Nur für [m]x\neq 0[/m]
In 0: Limes von Hand berechnen, dh Differenzenquotienten als erste bilden. Und dann schauen, ob er konvergiert. Schreibe den mal hin, wenn du nicht weiterkommst, wider melden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 19.12.2006 | | Autor: | gore |
Hi,
danke für deine schnelle Antwort.
Woher weiß ich denn, dass f(x) differenzierbar ist, wenn ich das nicht nachprüfe bzw. nicht schaue, ob f(x) stetig ist?
Wie zeige ich denn Stetigkeit bei dieser Funktion (habe noch andere Aufgaben wo das relevant ist)?
Hm, also Differentienquotient lautet ja: [mm] f'=\bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}.
[/mm]
Auf meine Funktion angewendet, würde das heißen:
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\bruch{((x+h)^2*sin(\bruch{1}{x+h})-x^2*sin(1/x))}{h}=\bruch{((x^2+2xh+h^2)*sin(\bruch{1}{x+h})-x^2*sin(1/x))}{h}
[/mm]
Bildet man den Limes:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{((2xh+h^2)*sin(\bruch{1}{x+h})}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] 0/h =0
Das stimmt nicht oder?
Eigentlich soll das ja unstetig sein im Punkt 0...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Woher weiß ich denn, dass f(x) differenzierbar ist, wenn
> ich das nicht nachprüfe bzw. nicht schaue, ob f(x) stetig
> ist?
> Wie zeige ich denn Stetigkeit bei dieser Funktion (habe
> noch andere Aufgaben wo das relevant ist)?
>
> Hm, also Differentienquotient lautet ja:
> [mm]f'=\bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}.[/mm]
> Auf meine Funktion angewendet, würde das heißen:
>
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\bruch{((x+h)^2*sin(\bruch{1}{x+h})-x^2*sin(1/x))}{h}=\bruch{((x^2+2xh+h^2)*sin(\bruch{1}{x+h})-x^2*sin(1/x))}{h}[/mm]
>
> Bildet man den Limes:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{((2xh+h^2)*sin(\bruch{1}{x+h})}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}[/mm]
> 0/h =0
Das ist falsch, für [mm] x\ne0 [/mm] hättest du doch noch 2x und nicht 0; so wie du argumentierst, wäre ja die Ableitung für alle x 0. ausserdem wo blieb das sin(1/x)?
du musst x=0 schon separat betrachten! mit f(0)=0
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gore
für alle [mm] x\ne0 [/mm] gilt [mm] |sin1/x|\le1 [/mm] damit kannst du den GW. berechnen. Aber soweit ich sehe ist auch die Ableitung bei 0 noch stetig, allerdings nicht mehr differenzierbar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 19.12.2006 | | Autor: | gore |
Hi,
d.h. ich mache den Differenzenquotient nur für den speziellen Fall x=0 und setze für alle x 0 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Di 19.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> d.h. ich mache den Differenzenquotient nur für den
> speziellen Fall x=0 und setze für alle x 0 sein?
Ja, hab ich das nicht schon geschrieben? Hmmm, also einfach Differenzquotienten in 0 berechnen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Di 19.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Aber soweit ich sehe ist auch die Ableitung bei
> 0 noch stetig, allerdings nicht mehr differenzierbar.
Das siehste ganz schön falsch, die Ableitung für [m]x\neq 0[/m] war ja richtig ... die konvergiert mal offensichtlich nicht für x gegen 0!
SEcki
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:48 Di 19.12.2006 | | Autor: | SEcki |
siehe andre Mitteilung
SEcki
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