Ist Q(3te Wurzel 2)ein Körper? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Fei |
| Aufgabe | Für eine komplexe Zahl z [mm] \in \IC [/mm] sei [mm] \IQ(z) [/mm] die Menge aller komplexen Zahlen, die sich in der Form
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2 [/mm] + ... + [mm] a_n z^n, [/mm] n [mm] \in \IN, a_0 [/mm] ... [mm] a_n \in \IQ
[/mm]
schreiben lassen.
Ist [mm] \IQ( \wurzel[3]{2}) [/mm] ein Körper? |
Hallo Leute
Meine Lerngruppe und ich haben bereits festgestellt, dass [mm] \IQ(\wurzel[]{2}) [/mm] ein Körper ist, aber bei der dritten Wurzel sind wir unentschlossen.
Es ist klar, dass alles bis auf die Existenz der Inversen vorhanden ist, beim finden/nicht finden der Inversen sinden sind wir aber nicht weit gekommen.
Ich selbst bin der Meinung, dass dies kein Körper ist, aus dem Grund, dass [mm] \IR^3 [/mm] auch keine Körperstruktur hat (der [mm] \IR^2 [/mm] aber schon), aber dies muss sich ja nicht zwanghaft auf [mm] \IQ(z) [/mm] anwenden lassen.
Könnt ihr mir sagen, ob dies überhaupt ein Körper ist?
Vielen Dank,
Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Fei.
Sei [mm] $a=\sqrt[3]{2}$ [/mm] und [mm] $k_0+k_1 a+...+k_n a^n\in \IQ(a)$ [/mm] für [mm] $k_0,k_1,...,k_n\i\IQ$. [/mm] Betrachte das Polynom [mm] $f=k_0+k_1 x+...+k_n x^n\in \IQ[x]$. [/mm] Da [mm] $g=x^3-2\in\IQ[x]$ [/mm] in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] irreduzibel ist (man betrachte die Linearfaktorzerlegung in [mm] $\IC[x]$ [/mm] oder verwende das Eisenstein-Kriterium), existieren nach dem Lemma von Bezout Polynome [mm] $p,q\in\IQ[x]$ [/mm] mit [mm] $f\cdot [/mm] p = [mm] g\cdot [/mm] q + 1$. Dann ist [mm] $f(a)\cdot [/mm] p(a) = [mm] g(a)\cdot [/mm] q(a) + 1 = 1$ (beachte $g(a)=0$). Offensichtlich (ein Vergleich mit der Definition von [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liefert dies) ist dann [mm] $q(a)\in\IQ(a)$ [/mm] und zu somit [mm] $a^{-1} [/mm] = [mm] g(a)^{-1} [/mm] = [mm] q(a)^{-1}$.
[/mm]
Das Ganze gilt für einen beliebigen Körper $L$, einen Unterkörper [mm] $\IK$ [/mm] und ein über $K$ algebraisches Element [mm] $a\in [/mm] L$ (algebraisch: es existiert ein Polynom [mm] $f\in \IK[x]$ [/mm] mit $f(a)=0$). Betrachte dazu stellvertretend für [mm] $x^3-2$ [/mm] im obigen Falle ein erzeugendes Element im Hauptideal der Polynome [mm] $\IK[x]$, [/mm] die $a$ als Nullstelle besitzen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 19.01.2006 | | Autor: | Fei |
Hi,
Danke erstmal für deine Antwort.
Leider hab ich noch nie was von Eisenstein-Kriterium noch dem Lemma von Bezout gehört, kann es dementsprechend nicht anwenden (selbst wenn ich es verstehen würde), da ich erst ein Student im ersten Semester bin.
Wäre es möglich, mir die ganze Sache anders darzustellen?
Vielen Dank im Voraus!
Fei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 19.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
Hanno hat dir eine algebraische herangehensweise gezeigt, man kann das aber (vermutlich) auch sehr viel elementarer machen - ich habe den ansatz aber nicht zu ende gerechnet.
also wie Hanno's antwort schon zu entnehmen war, handelt es sich um einen körper. das einzige problem ist die existenz eines multiplikativ inversen. mache dir klar, dass man jedes element $r [mm] \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) [/mm] $ schreiben kann als $r = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \sqrt[3]{2} [/mm] + [mm] a_2 (\sqrt[3]{2})^2$ [/mm] - alle höheren potenzen können wieder durch die hier schon angegeben dargestellt werden.
nun kann man ja mal ansetzen, dass es ein inverses $s$ gibt, das auch eine darstellung der obign form hat, dann wäre [m] rs = (a_0 + a_1 \sqrt[3]{2} + a_2 (\sqrt[3]{2})^2)(b_0 + b_1 \sqrt[3]{2} + b_2 (\sqrt[3]{2})^2) [/m]. dies muss man nun eben ausmultiplizieren, zusammenfassen und wieder in eine form bringen wie $r$ sie hat. danach gleichsetzen mit dem multiplikativ neutralen element, also mit [m] 1 + 0 \sqrt[3]{2} + 0 (\sqrt[3]{2})^2 [/m] dies liefert ein lineares (!) gleichungssystem für die [mm] $b_i$ [/mm] (die [mm] $a_i$ [/mm] sind ja dann in dem fall konstanten) mit 3 gleichungen und drei unbekannten. vermutlich kann man dann nach etwas rechnung eine über dessen lösbarkeit machen.
grüße
andreas
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