Isomorphismus von Homorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Seien V , X und Y K-Vektorräume. Beweisen Sie, dass die Abbildung
[mm] \alpha: Hom_K(V,X)\oplus Hom_K(V, [/mm] Y ) [mm] \to Hom_K(V,X\times [/mm] Y )
mit [mm] \alpha(f, [/mm] g)(v) := (f(v), g(v)) für f : [mm] V\to [/mm] X, g : [mm] V\to [/mm] Y und [mm] v\inV [/mm] ein
Isomorphismus ist. |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute verusche gerade die aufgabe zu lösen und mache glaube ich irgendwas falsch, weil das ganz irgendwie zu einfach erscheint +g+
also es muss ingsammt gezeigt werden:
1. [mm] \alpha [/mm] ist linear
2. [mm] \alpha [/mm] ist injektiv
3. [mm] \alpha [/mm] ist surjektiv und somit dann insgesammt bijektiv
zu1.) ich glaube das ist echt so einfach +g+
zu2.)
Zu Zeigen: [mm] \alpha(f,g)(v)= \alpha(f',g')(v) \Rightarrow [/mm] (f,g)=(f',g')
Beweis: [mm] \alpha(f,g)(v)=\alpha(f',g')(v)\gdw [/mm] (f(v),g(v))=(f'(v),g'(v))
Hat man jetzt schon injektivität gezeigt? (f,g) ist doch das selbe
wie (f(v),g(v)) oder?
zu 3.)
Zu Zeigen: [mm] \forall (f(v),g(v))\in Hom_K(V,X\times Y)\exists [/mm] (f,g):
[mm] \alpha(f,g)(v)=(f(v),g(v))
[/mm]
Bew.: Wenn man ein Tupel (f(v),g(v)) dann dann kann man ja direkt 2
funktionen aus der Startmenge finden, die diese Bedinung erfüllen,
falls, [mm] (f(v),g(v))\in Hom_K(V,X\times [/mm] Y)
ich denke mal das ist falsch :D,
wenn ihr lust habt, könnt ihr das gerne berrichtigen.. gruß an alle.. Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> zu1.) ich glaube das ist echt so einfach +g+
Dann schreib doch einen Beweis hin ... ich bin mir auch gar nicht sicher, dass du weisst, in Bezug auf was linear.
> zu2.)
> Zu Zeigen: [mm]\alpha(f,g)(v)= \alpha(f',g')(v) \Rightarrow[/mm]
> (f,g)=(f',g')
Wie wärs denn mit trivialen Kern? Es geht auch anders, aber meist ist die schnellste Methode.
> Beweis: [mm]\alpha(f,g)(v)=\alpha(f',g')(v)\gdw[/mm]
> (f(v),g(v))=(f'(v),g'(v))
Für alle v muss das gelten ...
> Hat man jetzt schon injektivität gezeigt? (f,g) ist doch
> das selbe
> wie (f(v),g(v)) oder?
Nein, das ist auf gar keinen Fall dasselbe!
>
> zu 3.)
>
> Zu Zeigen: [mm]\forall (f(v),g(v))\in Hom_K(V,X\times Y)\exists[/mm]
> (f,g):
> [mm]\alpha(f,g)(v)=(f(v),g(v))[/mm]
Nein, da stimmen die Bezeichnugnen nicht! Wieso ist jedes [m]h\in
Hom_K(V,X\times Y)[/m] so darstellbar, wie angegeben?
> Bew.: Wenn man ein Tupel (f(v),g(v)) dann dann kann man ja
> direkt 2
> funktionen aus der Startmenge finden, die diese Bedinung
> erfüllen,
Aha - wieso?
> falls, [mm](f(v),g(v))\in Hom_K(V,X\times[/mm] Y)
Das ist wider falsch.
> ich denke mal das ist falsch :D,
Ja - schaue mal alle Bezeichnugnen nach, was da die Symbole bedeuten! Vor allem die Definiton von [m]\alpha[/m]: hier bildet man Funktionen auf Funktionen ab, in dem man sagt was sie auf der Wertemenge machen soll, die v's sind einzusetzende Vektoren, die dann die Funktionen bestimmen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
zur linearität:
abgesch. bzgl x:
[mm] \alpha(f,g)(v)+\alpha(f',g')(v)=(f(v),g(v))+(f'(v),g'(v))=((f+f')(v),(g+g')(v))=\alpha(f+f',g+g')
[/mm]
abgeschl. bzgl. skalare mult:
[mm] \lamda [/mm] * [mm] \alpha(f,g)(v)=\lambda [/mm] * [mm] (f(v),g(v))=(\lambda*f(v),\lambda*g(v))=\alpha(\lambda*f,\lambda*g)=\alpha(\lambda*(f,g))
[/mm]
ist das so richitg? den rest gucke ich nochmal nach und poste es dann später
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> zur linearität:
>
> abgesch. bzgl x:
>
> [mm]\alpha(f,g)(v)+\alpha(f',g')(v)=(f(v),g(v))+(f'(v),g'(v))=((f+f')(v),(g+g')(v))=\alpha(f+f',g+g')[/mm]
Fast: ganz hinten fehlt ein $(v)$. Also:
[mm]\alpha(f,g)(v)+\alpha(f',g')(v)=(f(v),g(v))+(f'(v),g'(v))=((f+f')(v),(g+g')(v))=\alpha(f+f',g+g')(v)[/mm]
Und da dies fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$ gilt, ist also [mm] $\alpha(f, [/mm] g) + [mm] \alpha(f', [/mm] g') = [mm] \alpha(f [/mm] + f', g + g')$.
(Du musst unterscheiden zwischen Funktionen (nichts eingesetzt) und Funktionswerten (was eingesetzt)!)
> abgeschl. bzgl. skalare mult:
>
>
> [mm]\lamda * \alpha(f,g)(v)=\lambda * (f(v),g(v))=(\lambda*f(v),\lambda*g(v))=\alpha(\lambda*f,\lambda*g)=\alpha(\lambda*(f,g))[/mm]
Das Einsetzen fehlt hinten wieder: [mm]\lamda * \alpha(f,g)(v)=\lambda * (f(v),g(v))=(\lambda*f(v),\lambda*g(v))=\alpha(\lambda*f,\lambda*g)(v)=\alpha(\lambda*(f,g))(v)[/mm] fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$. Und somit [mm] $\lambda \alpha(f, [/mm] g) = [mm] \alpha( \lambda [/mm] (f, g))$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
zu der injektivität nochmal: wenn ich das weiter über die defintion machen, ist dann dieser weg hier richtig:
[mm] \alpha(f,g)(v)=\alpha(f',g')(v) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (f(v),g(v))=(f'(v),g'(v))
[mm] \gdw [/mm] (f(v)-f'(v),g'(v)-g(v))=(0,0)
[mm] \gdw [/mm] f(v)-f'(v)=0 und g(v)-g'(v)=0
[mm] \gdw [/mm] f(v)=f'(v) und g(v)=g'(v)
[mm] \gdw [/mm] f=f' und g=g'
[mm] \gdw [/mm] (f,g) = (f',g')
ist das richtig? wenn nein, welcher schritt ist da genau falsch?
Wäre nett, wenn du mir weiter helfen könntest. Schonmal VIEL VIELEN DANK!!!!!
Lieben Gruß Ari =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> zu der injektivität nochmal: wenn ich das weiter über die
> defintion machen, ist dann dieser weg hier richtig:
>
> [mm]\alpha(f,g)(v)=\alpha(f',g')(v)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (f(v),g(v))=(f'(v),g'(v))
> [mm]\gdw[/mm] (f(v)-f'(v),g'(v)-g(v))=(0,0)
> [mm]\gdw[/mm] f(v)-f'(v)=0 und g(v)-g'(v)=0
> [mm]\gdw[/mm] f(v)=f'(v) und g(v)=g'(v)
Bis hierher ist alles richtig; abgesehen davon, dass du nicht gesagt hast, was $v$ ist.
> [mm]\gdw[/mm] f=f' und g=g'
> [mm]\gdw[/mm] (f,g) = (f',g')
Damit das auch noch dazu gehoert, musst du das wie folgt schreiben:
[mm]\alpha(f, g) = \alpha(f', g')[/mm]
[mm]\gdw \forall v \in V : \alpha(f,g)(v)=\alpha(f',g')(v)[/mm]
[mm]\gdw \forall v \in V : (f(v),g(v))=(f'(v),g'(v))[/mm]
[mm]\gdw \forall v \in V : (f(v)-f'(v),g'(v)-g(v))=(0,0)[/mm]
[mm]\gdw \forall v \in V : f(v)-f'(v)=0 \text{ und } g(v)-g'(v)=0[/mm]
[mm]\gdw \forall v \in V : f(v)=f'(v) \text{ und } g(v)=g'(v)[/mm]
[mm]\gdw f=f' \text{ und } g=g'[/mm]
[mm]\gdw (f,g) = (f',g')[/mm]
Jetzt hast du genau das was du brauchst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
vielen vielen dank felixf.. ich hoffe irgendwann habe ich diesen formalismus im blut +g+ man meint es immer so, aber vergisst es hinzurschreiben.. ich werde versuchen den surjektiv teil diesmal wirklich richtig aufzuschreiben und zu posten HOFFENTLICH klappt es mal +g+
gruß Ari
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:50 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
irgendwie muss jetzt schon wieder passen (langsam mit tränen in den augen)
dieses surjektiv zeigen sieht vollkommen trivial aus (du wirst mir gleich sicher das gegenteil beweisen :D)
also zu zeigen ist:
[mm] \forall (f(v),g(v))\in Hom_K(V,X\times [/mm] Y) [mm] \exists (f,g)(v)\in Hom_K(V,X) \times Hom_K(V,Y): \alpha(f,g)(v)= [/mm] (f(v),g(v)) oder?
da f,g laut voraussetzung bijektiv sind, gibt es für f,g eine umkehrabb.
somit ist ist dann [mm] \alpha(f^{-1},g^{-1})(v)=(f(v),g(v)) [/mm] für alle [mm] v\inV, [/mm] da f^-1 und g^-1 auch wieder lin. und bijektiv sind.
so richtig? :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 18.04.2006 | | Autor: | AriR |
(frage hier zuvor gestellt: http://www.matheforum.net/read?i=142618)
Hey Leute hänge noch an der surjektivität fest und muss die kack aufgabe auch noch heute abgeben.
Mein Problem ist hauptsächlich, dass ich nicht weiß wie ich von einem Tupel aus 2 Zahlen (f(v),g(v)) auf die Funktionen f,g kommen soll. Dieses (f(v),g(v)) ist ja von der Form zB (3,4) und nicht in der Form zB(f(2),f(4)) gegeben oder?
bin dankbar für jede hilfe.. gruß Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Di 18.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
könntest du bitte Rückfragen auch in dem Thread stellen?
Das hilft nicht nur uns (und damit auch dir), sondern insbesondere auch Leuten, die später evtl lesen...
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 18.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Mein Problem ist hauptsächlich, dass ich nicht weiß wie ich
> von einem Tupel aus 2 Zahlen (f(v),g(v)) auf die Funktionen
> f,g kommen soll. Dieses (f(v),g(v)) ist ja von der Form zB
> (3,4) und nicht in der Form zB(f(2),f(4)) gegeben oder?
Was da steht ist schwer verständlich. Du sollst eigentlich gar nichts von all dem! Du sollst von einen [m]h\in Hom(V,X\times Y)[/m] ausgehen, und dann dann zeigen, dass [m]h=\alpha(f,g)[/m] mit entsprechendne g und f gilt.
SEcki
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