Isomorphismus Faktorring-->R < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | koi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Faktorring [mm] C(\IR,\IR)/ [/mm] I isomorph zu [mm] \IR [/mm] ist.
Was können sie daraus über das Ideal I schliessen? |
Hallo!
Dies ist meine erste Frage hier, ich hoffe, es kann mir jem weiterhelfen.
Vor dieser Teilaufgabe, sollte gezeigt werden, dass I:= {f [mm] \varepsilon C(\IR,\IR) [/mm] | f(0)=0} ein Ideal von [mm] C(\IR,\IR) [/mm] ist, aber kein Hauptideal.
Das habe ich nach einigen Anläufen auch geschafft, weiß jetzt aber nicht weiter.
Meine Probleme liegen in erster Linie darin, dass ich mir nicht so recht vorstellen kann, was unter dem Faktorring [mm] C(\IR,\IR)/I [/mm] zu verstehen ist.
Um die Isormorphie zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass es einen Isom.
[mm] \nu: C(\IR,\IR)/I [/mm] --> [mm] \IR [/mm] gibt. Also einen Homom. der bijektiv ist?
Danke schonmal für die Hilfe!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Meine Probleme liegen in erster Linie darin, dass ich mir
> nicht so recht vorstellen kann, was unter dem Faktorring
> [mm]C(\IR,\IR)/I[/mm] zu verstehen ist.
das ist öfter so. aber hier sieht man ja, dass es eine isomorphie zu einem wohlbekannten ring gibt.
> Um die Isormorphie zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass es
> einen Isom.
> [mm]\nu: C(\IR,\IR)/I[/mm] --> [mm]\IR[/mm] gibt. Also einen Homom. der
> bijektiv ist?
genau. hier beitet es sich an, den homomorphiesatz nochmals anzuschauen. kannst du einen homomorphismus [mm] $\varhi: C(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] angeben mit [mm] $\ker \varphi [/mm] = I$? wenn der dann noch surjektiv ist, bist du schon fertig.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 14.11.2007 | | Autor: | koi |
Danke für die schnelle Antwort!
Das heißt, ich suche mir jetzt eine stetige Funktion, die ausser in 0 keine Nullstellen hat?
Z.B. f(x) = x ?
Und über das Ideal kann man dann schliessen, dass dies gleich dem Kern ist, da eben nur die Null auf die Null abgebildet wird?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Das heißt, ich suche mir jetzt eine stetige Funktion, die
> ausser in 0 keine Nullstellen hat?
nein. schau mal von wo nach wo die abbildung gehen sollte - von den stetigen funktionen nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] was kannst du dir den für abbildungen vorstellen, die eine steitge funktion nehmen und ihr eine reelle zahl zuordnen, dabei noch homomorphismen sind und auch noch den gewünschten kern haben (der sollte dir wohl auch noch einen guten anhaltspunkt geben, wie die abbildung auszusehen hat).
> Und über das Ideal kann man dann schliessen, dass dies
> gleich dem Kern ist, da eben nur die Null auf die Null
> abgebildet wird?
es ist wohl eher nach den eigenschaften des ideals gefragt. was kennst du denn für eigenschaften, die ein ideal haben kann?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 14.11.2007 | | Autor: | koi |
mmh...
steh grad ein bisschen auf dem schlauch, einen homomorphismus zu finden, irgendwie haben wir bisher lediglich die eigenschaften des homom bei gegebenen abb überprüft.
es müsste doch eine abb sein, die z.b. sin(x) ein reelles x zuordnet?
wir hatten in der vorlesung als eigenschaften des ideals prim und maximal, werd mir die begriffe gleich mal näher anschauen.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> steh grad ein bisschen auf dem schlauch, einen
> homomorphismus zu finden, irgendwie haben wir bisher
> lediglich die eigenschaften des homom bei gegebenen abb
> überprüft.
> es müsste doch eine abb sein, die z.b. sin(x) ein reelles
> x zuordnet?
ja. im prinzip. allerdings sind die $x$'e die du hier verwendest zwei verschiedene: zuerst eine variable und danach eine (feste) zahl. wie bekommst du denn aus [mm] $\sin [/mm] x$ zahlen? etwa in dem du für $x$ etwa einsetzt $x = [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] oder so... denke mal weiter in diese richtung...
> wir hatten in der vorlesung als eigenschaften des ideals
> prim und maximal, werd mir die begriffe gleich mal näher
> anschauen.
das sind auf jeden fall eigenschaften auf die hin sich das ideal zu untersuchen lohnt...
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mi 14.11.2007 | | Autor: | koi |
danke für deine hilfe!
werd mich morgen nochmal ein bisschen mit der aufgabe befassen, ich glaub bei mir haperts noch am grundlegenden verständnis einiger begriffe
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
benutze dazu den Homomorphiesatz bzw. das Korollar 5 dazu, siehe Bosch-Buch "Algebra" S.39.
Definier dir dazu die Abbildung. [mm] \psi: [/mm] C(R,R) -> [mm] \IR
[/mm]
f -> f(0). Zeige nun noch, dass [mm] \psi [/mm] ein Ringhomom. ist.
Dann kannst du durch pures Einsetzen zeigen, dass ker [mm] \psi [/mm] = I
Jetzt musst du entsprechend des Korollars noch zeigen, dass [mm] \psi [/mm] surjektiv ist und dann bist du fertig. Denn dann ist nach dem Homo.s. C(R,R)/ I -> [mm] \IR [/mm] eindeutig bestimmt und bijektiv.
VG
Fry
|
|
|
|
