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| Aufgabe | | Seien U, V, W endlich dim. [mm] \IK [/mm] - VR. Zeigen Sie: Die VR (U [mm] \oplus [/mm] V) [mm] \otimes [/mm] W und (U [mm] \otimes [/mm] W) [mm] \oplus [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] W). |
Hallo Leute,
ich bereite mich gerade für die Klausur vor und bin grad beim Tensor- und Dachprodukt. Leider versteh ich das Kapitel überhaupt nicht und weiß, dass 100% eine Aufgabe dran kommt, wo man zeigen musst, dass Vektorräume isomorph sind.
Normalerweise haben wir es damit gezeigt, indem wir eine Abb. finden und die dann auf wohldefiniertheit, bijektiv,... überprüfen. Mein Tutor meinte jedoch, dass man isomorphismus über Dimensionen zeigen soll, da dies wesentlich einfacher ist.
Leider weiß ich überhaupt nicht wie das geht und hoffe, dass mir es einer anhand der Probeklausuraufgabe erklären kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
cupcake
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 13.07.2013 | | Autor: | hippias |
Wenn ich Dein Problem richtig verstehe: Zwei VR ueber dem gleichen Koerper sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Durch Bezugnahme auf diesen Satz brauchst Du dann nicht eine Funktion explizit angeben, und fuer diese die Isomorphismuseigenschaften nachweisen. Weisst Du also, dass $(U [mm] \oplus [/mm] V) [mm] \otimes [/mm] W$ und $(U [mm] \otimes [/mm] W) [mm] \oplus [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] W)$ gleiche Dimension haben, bzw. kannst es aus bekannten Saetzen herleiten, dann bist Du fertig.
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Hallo hippias,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich weiß ja, dass
dim (V [mm] \oplus [/mm] W) = dim v + dim W und
dim (V [mm] \otimes [/mm] W) = dim V * dim W
aus (U [mm] \oplus [/mm] V) [mm] \otimes [/mm] W folgt also,
dim ((U [mm] \oplus [/mm] V) [mm] \otimes [/mm] W)
[mm] \gdw [/mm] dim(U [mm] \oplus [/mm] V) * dim W
[mm] \gdw [/mm] (dim U * dim W) + (dim V * dim W)
aus (U [mm] \otimes [/mm] W) [mm] \oplus [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] W) folgt
(dim U * dim W) + (dim V * dim W)
da es das gleiche ist, haben die beiden Vektorräume die gleiche Dimension und sind somit isomorph.
Geht das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 14.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich weiß ja, dass
> dim (V [mm]\oplus[/mm] W) = dim v + dim W und
> dim (V [mm]\otimes[/mm] W) = dim V * dim W
>
> aus (U [mm]\oplus[/mm] V) [mm]\otimes[/mm] W folgt also,
> dim ((U [mm]\oplus[/mm] V) [mm]\otimes[/mm] W)
Aus dem Ausdruck $(U [mm] \oplus [/mm] V) [mm] \otimes [/mm] W$ "folgt" nichts
> [mm]\gdw[/mm] dim(U [mm]\oplus[/mm] V) * dim W
Ein Ausdruck der Gestalt $dim [mm] X\iff [/mm] dim Y$ ergibt keinen Sinn, aber $dim X= dim Y$.
> [mm]\gdw[/mm] (dim U * dim W) + (dim V * dim W)
>
> aus (U [mm]\otimes[/mm] W) [mm]\oplus[/mm] (V [mm]\otimes[/mm] W) folgt
> (dim U * dim W) + (dim V * dim W)
>
> da es das gleiche ist, haben die beiden Vektorräume die
> gleiche Dimension und sind somit isomorph.
> Geht das so?
Abgesehen von den obigen unschoenen Fahrlaessigkeiten sieht das sehr schoen aus.
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