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| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] . Betrachten sie den Vektorraum V = [mm] \IR[x]\le3 [/mm] und die lineare Abbildung [mm] \gamma [/mm] : V --> [mm] \IR [/mm] hoch 4, [mm] p\mapsto \vektor{p(a) \\ p`(a) \\ p(b) \\ p`(b)}.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \gamma [/mm] ist genau dann ein Isomorphismus, wenn a ungleich b ist. |
Hey Leute,
wir schreiben morgen eine Klausur und bei der Vorbereitung ist mir diese Aufgabe aufgefallen... irgendwie habe ichn Probleme damit, dies nachzuweisen. Mir ist klar, dass bei linearen Abbildungen von endlich dimensionalen Vektorräumen bijektiv, injektiv und surjektiv äquvialent sind, ich weiß jedoch nicht wie ich das hier anwenden soll, weil es ja irgendwie so ist, dass a und b in einem Vektor vorkommen... Kann mir jemand helfen?
Danke !!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Do 17.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Mir ist klar, dass bei
> linearen Abbildungen von endlich dimensionalen
> Vektorräumen bijektiv, injektiv und surjektiv äquvialent
> sind, ich weiß jedoch nicht wie ich das hier anwenden
> soll, weil es ja irgendwie so ist, dass a und b in einem
> Vektor vorkommen... Kann mir jemand helfen?
ok, das kann man hier tatsächlich gewinnbringend einsetzen. ist dir klar, dass es sich um eine lineare abbildung handelt und beide räume die gleiche dimension haben? wenn dem so ist kann man nun, je nachdem, was einem am einfachsten fällt, injektivität oder surjektivität nachrechen. die surjektivität erhält man hier etwa, indem man vier polynome [mm] $p_1, p_2, p_3$ [/mm] und [mm] $p_4$ [/mm] aus [mm] $\IR[x]_{\leq 3}$ [/mm] angibt, so dass die bilder die formen [mm] \begin{pmatrix}* \\ * \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ * \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ * \\ * \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ * \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] haben, wobei an den stellen mit $*$ in jedem vektor mindestens ein von null verschiedener eintrag steht (denn diese vier vektoren erzeugen dann ganz [mm] $\IR^4$). [/mm] überlege dir zum beispiel mal, auf was das polynom $(x - a)(x - [mm] b)^2$ [/mm] abgebildet wird...
grüße
andreas
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Hey, danke ;) ich hätt noch ne Frage: wir sind ja jetzt davon ausgegangen, dass a ungleich b ist, das heißt wir haben die eine richtung gezeigt und wie macht an das mit der andren? oder nimmt man einfach immer ein äquivalenzzeichen ;)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 17.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
für die andere richtung kannst du ganz einfach zeigen, dass die abbildung nicht surjektiv ist: nimm an, dass $a = b$. kann dann der vektor $(1, 0, 0, [mm] 0)^t$ [/mm] im bild liegen (bedenke $a = b$!), die abbildung also surjektiv sein?
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 18.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $Kern(\gamma) [/mm] = [mm] \{p \in V: p(a)=p'(a)= p(b)=p'(b) = 0 \}$
[/mm]
Zeige also:
[mm] $Kern(\gamma) [/mm] = [mm] \{0\} \gdw [/mm] a [mm] \not=b$
[/mm]
FRED
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