Isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 28.11.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo zusammen,
wahrscheinlich ganz einfach, aber ich sitz schon ewig dran:
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K.
a) Sei U [mm] \le [/mm] V ein Untervektorraum und X [mm] \le [/mm] V mit V = U [mm] \oplus [/mm] X das
Komplement zu U. Weiter sei die lineare Abbildung
k : V [mm] \to [/mm] V/U , v [mm] \mapsto [/mm] v+U
in den Faktorraum eingeführt. Zeigen Sie, dass die Einschränkung
k|x : X [mm] \to [/mm] V/U
ein Isomorphismus ist.
b) Sei W ein weiterer Vektorraum über K und [mm] \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] W eine surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie mit Hilfe des Homomorphiesatzes, dass es dann eine lineare Abbildung [mm] \beta [/mm] : W [mm] \to [/mm] V gibt mit
[mm] \alpha \circ \beta [/mm] = [mm] id_w
[/mm]
(Hinweis: Verwenden Sie Teil a) mit U = Kern [mm] (\alpha))
[/mm]
zu a)
Ich weiß also ich muss die Injektivität und Surjektivität zeigen, d.h.
Bild (k|x) = V/U und
Kern (k|x) = 0 (d.h. das Nullelement)
aus V = U [mm] \oplus [/mm] X folgt doch U [mm] \cap [/mm] X = 0. Wie verwende ich das nun ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 So 28.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Michel!
Zu Aufgabe (a)
> Ich weiß also ich muss die Injektivität und Surjektivität zeigen, d.h.
Ja, das ist doch schon völlig richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fangen wir mal mit der Surjektivität von k an: sei [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] $a\in [/mm] V/U$ mit $a=v+U$. Dann musst du zeigen, dass es zu jedem solchen a ein [mm] $x\in [/mm] X$ so gibt, dass $k(x)=a=v+U$ gilt. Nun müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen, denn v liegt entweder in [mm] $X\setminus \{0\}$ [/mm] oder in $U$ (denn es gilt [mm] $X\cup [/mm] U=V$ und [mm] $X\cap U=\{0\}$). [/mm] So, und nun du: wie könnte man nun die einzelnen Fälle behandeln?
Danach musst du noch zeigen, die Abbildung injektiv. Dazu gehst du wie immer vor: seien [mm] $x,y\in [/mm] K$ und $f(x)=f(y)$, dann musst du zeigen, dass $x=y$ folgt. Schreiben wir die Gleichung aus, so erhalten wir: $x+U=y+U$. So, und nun wieder du? Was weißt du über Nebenklassen? Wann sind zwei Nebenklassen gleich? Welche Bedingungen müssten die Repräsentanten x und y erfüllen? Versuch's mal!
Hilft dir das schonmal?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 28.11.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo Hanno,
vielen Dank schon mal. Leider steh ich bei der surjektivität völlig auf dem Schlauch !!!
zur Injektivität:
Seien x,y [mm] \in [/mm] k. zu zeigen x+U = y+U:
wegen 0 [mm] \in [/mm] U ist y = y+0 [mm] \in [/mm] y+U
wenn x+U = y+U ist, so muss y [mm] \in [/mm] y+U = x+U gelten.
Also muss es ein [mm] u_0 \in [/mm] U geben mit y = x + [mm] u_0. [/mm] Das bedeutet y-x = [mm] u_0 \in [/mm] U.
Umgekehrt:
Sei y-x [mm] \in [/mm] U. Dann definiert man [mm] u_0:= [/mm] y-x. Also y = [mm] x+u_0 \in [/mm] x+U,
also
y+U = [mm] \{y+u | u \in U\} [/mm] = [mm] \{x+u_0+u | u \in U\} \subseteq \{x+u_1 | u_1 \in U\} [/mm] = v+U.
wegen x = [mm] y-u_0 \in [/mm] y+U folgt entsprechend x+U [mm] \subseteq [/mm] y+U
also x+U = y+U.
Richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das, was du geschrieben hast, ist schon mal richtig.
Jetzt zur Injektivität:
Aus [mm] $k|_X(x) [/mm] = [mm] k|_X(y)$ [/mm] für $x,y [mm] \in [/mm] X$ folgt:
$x+U = y+U$,
also -wie von dir richtig erkannt-
$x-y [mm] \in [/mm] U$.
Weiterhin ist
$x-y [mm] \in [/mm] X$,
da $X$ ein Untervektorraum ist.
Daher ist
$x-y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap X=\{0\}$,
[/mm]
also:
$x=y$.
Zur Surjektivität:
Es sei $v+U$ beliebig vorgegeben. Nun sei $v=u+x$ mit $u [mm] \in [/mm] U$, $x [mm] \in [/mm] X$.
Dann gilt:
[mm] $k|_X(x) [/mm] = x+U = x+u + U = v+U$.
Liebe Grüße
Julius
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