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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Gruppenisomorphismus.
Zeigen Sie, dass es eine Isomorphie Aut(G) [mm] \cong [/mm] Aut(H) von Gruppen gibt. |
Hallo liebe Matheliebhaber 
Habe mich an dieser Aufgabe versucht und es ist bis jetzt folgendes herausgekommen:
Vorraussetzung: G [mm] \cong [/mm] H:
i) Seien Aut(G), Aut(H) zyklisch:
ord(G) = ord(H), also sei ord(G)=ord(H)=n, n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Anzahl der Automorphismen [mm] \psi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G, bzw. [mm] \tau: [/mm] H [mm] \rightarrow [/mm] H beträgt (n-1)!, da [mm] \psi(e_{G}) [/mm] = [mm] \psi(Id) [/mm] = Id = [mm] e_{G}, [/mm] bzw. [mm] \tau(e_{H})=\tau(Id)=Id=e_{H} [/mm] gelten muss, für die Homomorphismuseigenschaft.
[mm] \Rightarrow [/mm] ord Aut(G)=ord Aut(H)= (n-1)!
Also folgt die Isomorphie Aut(G) [mm] \cong [/mm] Aut(H)
ii) seien Aut(G),Aut(H) nicht zyklisch
Also ord Aut(G)=ord Aut(H)=(n-1)!
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine bijektive Abbildung [mm] \omega: [/mm] Aut(G) [mm] \rightarrow [/mm] Aut(H), mit [mm] \psi_{i} \longmapsto \tau_{i}, [/mm] i [mm] \in \{1,...,(n-1)!\}.
[/mm]
Homomorphismuseigenschaften:
[mm] \omega(e_{G})=\omega(\psi_{1})=\tau_{1}=e_{H}
[/mm]
[mm] \omega(\psi_{i}^{-1})=\tau_{i}^{-1}=\omega(\psi_{i})^{-1}
[/mm]
[mm] \omega(\psi_{i} \circ \psi_{j})=...=h_{i} \circ h_{j} [/mm] = [mm] \omega(\psi_{i}) \circ \omega(\psi_{j})
[/mm]
So richtig weiss ich noch nicht, wie ich die Homomorphismuseigenschaft korrekt nachweisen kann...
Wäre das ansonsten ok?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Nein, leider geht das so nicht.
1.) G und H müssen ja keine endlichen Gruppen sein!
2.) Wieso gilt [mm] \text{ord}(\text{Aut}(G))=(n-1)!? [/mm] (n-1)! ist nur eine obere Schranke, nicht jede andere bijektive Abbildung muss auch ein Automorphismus sein!
3.) Gruppen mit gleicher Ordnung müssen nicht isomorph sein! Vergleiche [mm] $\IZ_4$ [/mm] und [mm] $\IZ_2 \times \IZ_2$.
[/mm]
Fangen wir mal etwas anders an. Wir haben also [mm] $\phi: G\rightarrow [/mm] H$ gegeben (Isomorphismus). Nun suchen wir erst einmal eine Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] von [mm] \text{Aut}(G) [/mm] nach [mm] \text{Aut}(H). [/mm] Diese soll dann der Isomorphismus zwischen [mm] \text{Aut}(G) [/mm] und [mm] \text{Aut}(H) [/mm] werden. Gegeben sei also [mm] \alpha\in\text{Aut}(G), [/mm] d.h. [mm] $\alpha:G\rightarrow [/mm] G$ ist Automorphismus. Versuche aus [mm] \alpha [/mm] und [mm] \varphi [/mm] erst einmal irgendeine Abbildung zu bauen, die von $H$ nach $H$ geht. Eventuell kriegst du schon die richtige raus! Wenn du eine gefunden hast, sehen wir erst mal weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi, kein Problem! :)
Genau, diese Abbildung kam mir auch direkt in den Sinn! Und ja, sie ist bijektiv, aber außerdem auch ein Homomorphismus! Das musst du auch noch erwähnen und etwas begründen.
Ja, dann kannst du [mm] \gamma: \text{Aut}(G)\rightarrow\text{Aut}(H), \alpha \mapsto \phi \circ\alpha\circ \phi^{-1} [/mm] definieren. Die Definition ergibt wegen dem 1. Absatz auch Sinn.
Jetzt musst du nur noch nachweisen, dass [mm] \gamma [/mm] selbst ein Isomorphismus ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Topologe |
Supi, danke
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