Isomorphietyp der Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
bräuchte Hilfe bei der Bestimmung des Isomorphietyps der Galoisgruppe. Ich hab z.B den Zerfällungskörper [mm] \IQ(\wurzel[3]{6},c) [/mm] vom Polynom [mm] x^3-6. [/mm] c ist dabei die 3. einheitswurzel. Die Nullstellen sind [mm] \wurzel[3]{6}, \wurzel[3]{6}*c [/mm] und [mm] \wurzel[3]{6}*c^2.
[/mm]
Die Galoisgruppe [mm] Aut(\IQ(\wurzel[3]{6},c)|\IQ) [/mm] hat den Grad 6 also gibt es 6 Automorphismen und ist entweder isomorph zur C6 oder zur S3. Hier habe ich jetzt Probleme, die verschiedenen Automorphismen zu bestimmen und deren Ordnung zu berechnen. Mein Vorschlag für die Automorphismen:
[mm] \alpha1: \wurzel[3]{6} ->\wurzel[3]{6} [/mm] und c -> c
[mm] \alpha2: \wurzel[3]{6} [/mm] -> [mm] \wurzel[3]{6}*c [/mm] und c -> c
[mm] \alpha3: \wurzel[3]{6} [/mm] -> [mm] \wurzel[3]{6}*c^2 [/mm] und c -> c
[mm] \alpha4: \wurzel[3]{6} [/mm] -> [mm] \wurzel[3]{6} [/mm] und c -> [mm] c^2
[/mm]
[mm] \alpha5: \wurzel[3]{6} [/mm] -> [mm] \wurzel[3]{6}*c [/mm] und c -> [mm] c^2
[/mm]
[mm] \alpha6: \wurzel[3]{6} [/mm] -> [mm] \wurzel[3]{6}*c^2 [/mm] und c -> [mm] c^2
[/mm]
Stimmen diese 6 Automorphismen?
Und wie berechne ich jetzt die Ordnungen der Abbildungen? Setze ich in alle Abbildungen [mm] \wurzel[3]{6} [/mm] und schau, wann wieder die id rauskommt? Kann mir da jemand helfen bzw. sagen wie man am besten die Ordnungen der Automorhismen bestimmt? Vielen Dank schon mal für eure Hilfe. Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 30.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> bräuchte Hilfe bei der Bestimmung des Isomorphietyps der
> Galoisgruppe. Ich hab z.B den Zerfällungskörper
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{6},c)[/mm] vom Polynom [mm]x^3-6.[/mm] c ist dabei die 3.
> einheitswurzel. Die Nullstellen sind [mm]\wurzel[3]{6}, \wurzel[3]{6}*c[/mm]
> und [mm]\wurzel[3]{6}*c^2.[/mm]
>
> Die Galoisgruppe [mm]Aut(\IQ(\wurzel[3]{6},c)|\IQ)[/mm] hat den Grad
> 6 also gibt es 6 Automorphismen und ist entweder isomorph
> zur C6 oder zur S3. Hier habe ich jetzt Probleme, die
> verschiedenen Automorphismen zu bestimmen und deren Ordnung
> zu berechnen. Mein Vorschlag für die Automorphismen:
>
>
> [mm]\alpha1: \wurzel[3]{6} ->\wurzel[3]{6}[/mm] und c -> c
> [mm]\alpha2: \wurzel[3]{6}[/mm] -> [mm]\wurzel[3]{6}*c[/mm] und c -> c
> [mm]\alpha3: \wurzel[3]{6}[/mm] -> [mm]\wurzel[3]{6}*c^2[/mm] und c -> c
> [mm]\alpha4: \wurzel[3]{6}[/mm] -> [mm]\wurzel[3]{6}[/mm] und c -> [mm]c^2[/mm]
> [mm]\alpha5: \wurzel[3]{6}[/mm] -> [mm]\wurzel[3]{6}*c[/mm] und c -> [mm]c^2[/mm]
> [mm]\alpha6: \wurzel[3]{6}[/mm] -> [mm]\wurzel[3]{6}*c^2[/mm] und c -> [mm]c^2[/mm]
>
> Stimmen diese 6 Automorphismen?
Ja.
> Und wie berechne ich jetzt die Ordnungen der Abbildungen?
Ueberlege dir, dass jeder Automorphismus durch seine Aktion auf [mm] $\{ \sqrt[3]{6}, \sqrt[3]{6} c, \sqrt[3]{6} c^2 \}$ [/mm] bereits eindeutig bestimmt ist. Daraus solltest du sofort einen Isomorphismus [mm] $Aut(\IQ(\wurzel[3]{6},c)|\IQ) \to S_3$ [/mm] bekommen und ebenso Ordnungen der Abbildungen etc. bestimmen koennen.
> Setze ich in alle Abbildungen [mm]\wurzel[3]{6}[/mm] und schau, wann
> wieder die id rauskommt? Kann mir da jemand helfen bzw.
> sagen wie man am besten die Ordnungen der Automorhismen
> bestimmt? Vielen Dank schon mal für eure Hilfe. Danke
Allgemein: bestimme die Bilder aller Nullstellen unter den Automorphismen (dann bekommst du eine Darstellung der Automorphismengruppe durch eine Permutationsgruppe, und kannst mit Permutationen rechnen). Alternativ bestimmte die Wirkung der Automorphismen auf einer [mm] $\IQ$-Basis [/mm] des Erweiterungskoerpers (hier: Zerfaellungskoerper); dann bekommst du eine Darstellung als Matrizengruppe, und kannst mit Matrizen rechnen.
Allgemein gilt uebrigens: die Automorphismengruppe von $L/K$ ist eine Untergruppe von [mm] $S_n$, [/mm] falls $L$ ein Zerfaellungskoerpers eines Polynoms von Grad $n$ ueber $K$ ist. In diesem Fall weisst du, dass $n = 3$ ist, $[L : K] = 6$ ist: damit ist die Automorphismengruppe (da Galoiserweiterung) von Grad 6, und da es genau eine Untergruppe der Ordnung 6 in [mm] $S_3$ [/mm] gibt, muss die Automorphismengruppe hierzu isomorph sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke erst mal für deine schnelle Antwort. Aber so ganz verstanden habe ich noch nicht wie man die Ordnungen der Automorphismen bekommt. Wenn ich die Bilder der Nullstellen für jeden Automorphismus betrachte kommen doch als Bilder immer die Nullstellen raus, also z.b für [mm] \alpha3:
[/mm]
[mm] \alpha3(\wurzel[3]{6}) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}*c^2
[/mm]
[mm] \alpha3(c*\wurzel[3]{6}) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}
[/mm]
[mm] \alpha3(c^2*\wurzel[3]{6}) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}*c
[/mm]
stimmt doch so, oder? Und wie erkennt man jetzt die Ordnung. Sorry verstehs iwie noch nicht so ganz. Danke auf jeden Fall schon mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 30.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
für die Automorphismen gilt doch [mm] \alpha_i(ab)=\alpha_i(a)\alpha_i(b). [/mm] Also für dein Beispiel:
[mm] \alpha_2(\wurzel[3]{6)} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}c^2 [/mm] und [mm] \alpha_3(c) [/mm] = c
Jetzt musst du einfach nur die Ordnung nachrechnen bzw. "probieren":
Für Ordnung 2 gilt:
[mm] \alpha_3^2(\wurzel[3]{6})= \alpha_3(\wurzel[3]{6}c^2)= \alpha_3(\wurzel[3]{6}) \alpha_2(c^2) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}c^2c^2 [/mm] = [mm] \wurzel[3]{6}c \neq \wurzel[3]{6}
[/mm]
Also ist die Ordnung von [mm] \alpha_3 [/mm] schonmal nicht zwei. Also einfach analog weiterrechnen...
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 31.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
> danke erst mal für deine schnelle Antwort. Aber so ganz
> verstanden habe ich noch nicht wie man die Ordnungen der
> Automorphismen bekommt. Wenn ich die Bilder der Nullstellen
> für jeden Automorphismus betrachte kommen doch als Bilder
> immer die Nullstellen raus, also z.b für [mm]\alpha3:[/mm]
> [mm]\alpha3(\wurzel[3]{6})[/mm] = [mm]\wurzel[3]{6}*c^2[/mm]
> [mm]\alpha3(c*\wurzel[3]{6})[/mm] = [mm]\wurzel[3]{6}[/mm]
> [mm]\alpha3(c^2*\wurzel[3]{6})[/mm] = [mm]\wurzel[3]{6}*c[/mm]
Etwas einfacher als von teo skizziert: du kannst dies direkt als Permutation der Menge [mm] $\{ \sqrt[3]{6}, c \sqrt[3]{6}, c^2 \srqt[3]{6} \}$ [/mm] auffassen; identifizierst du diese Menge mit [mm] $\{ 1, 2, 3 \}$ [/mm] (fuer erste, zweite, dritte Nullstelle), so erhaelst du die Permutation [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }$. [/mm] Und von Permutationen solltest du die Ordnung einfach berechnen koennen...
LG Felix
|
|
|
| |
|
Morgen,
danke euch 2 erst mal für eure Antworten. Also müssten die Ordnung so aussehen:
[mm] \alpha1: [/mm] (1) -> ord 1
[mm] \alpha2: [/mm] (123) -> ord 3
[mm] \alpha3: [/mm] (132) -> ord 3
[mm] \alpha4: [/mm] (23) -> ord 2
[mm] \alpha5: [/mm] (13) -> ord 2
[mm] \alpha6: [/mm] (12) -> ord 2
Stimmt das?
Und des bedeutet, dass z.B bei [mm] \alpha2 [/mm] nach 3 Abbildungen bei jeder Nullstelle wieder die id rauskommt, oder? Dumme Frage ich weiß, will nur sicher sein.
Und da die C6 nur jeweils eine UG der Ordnung 2 und 3 hat, muss es die S3, da diese 3 UG der Ord 2 hat. Aber hat die S3 nicht nur eine UG der Ordnung 3? Die Automorphismengruppe aber wie man oben sieht 2. Wie lässt sich dies erklären?
Vll ist die Frage doof, aber des fehlt mir noch ums vollständig zu kapieren. Danke auf jeden Fall schon mal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Di 31.07.2012 | | Autor: | teo |
> Morgen,
>
> danke euch 2 erst mal für eure Antworten. Also müssten
> die Ordnung so aussehen:
> [mm]\alpha1:[/mm] (1) -> ord 1
> [mm]\alpha2:[/mm] (123) -> ord 3
> [mm]\alpha3:[/mm] (132) -> ord 3
> [mm]\alpha4:[/mm] (23) -> ord 2
> [mm]\alpha5:[/mm] (13) -> ord 2
> [mm]\alpha6:[/mm] (12) -> ord 2
>
> Stimmt das?
> Und des bedeutet, dass z.B bei [mm]\alpha2[/mm] nach 3 Abbildungen
> bei jeder Nullstelle wieder die id rauskommt, oder? Dumme
> Frage ich weiß, will nur sicher sein.
>
Naja das finde ich jetzt ziemlich komisch formuliert. Das bedeutet einfach [mm] \alpha_2^3=id. [/mm] Der Automorphismus [mm] \alpha_2 [/mm] ist ja einfach nur ein Element aus der Galoisgruppe.
> Und da die C6 nur jeweils eine UG der Ordnung 2 und 3 hat,
> muss es die S3, da diese 3 UG der Ord 2 hat. Aber hat die
> S3 nicht nur eine UG der Ordnung 3? Die
> Automorphismengruppe aber wie man oben sieht 2.
Wo sieht man das ich seh nur eine... Eine Gruppe der Ordnung 3 hat gewöhnlich 3 Elemente..
Wie lässt
> sich dies erklären?
> Vll ist die Frage doof, aber des fehlt mir noch ums
> vollständig zu kapieren. Danke auf jeden Fall schon mal
>
Grüße
|
|
|
|
