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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:41 Do 20.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Isomorphieklassen einer Gruppe mit |G| =20 |
Wir haben das so gemacht:
20= [mm] 2^2 [/mm] * 5
=> es gibt 5-Sylow Untergruppen und 2-Sylowuntergruppen
[mm] s_5 [/mm] = 1 + j*5 => [mm] s_5 [/mm] = 1 <=> die 5 - Sylow ist normal
[mm] s_2 [/mm] = 1+k*2 => [mm] s_2 \in [/mm] {1; 5}
1. Fall es gibt 1 2-Sylow => die 2-Sylow ist normal.
Bekannte 2-Sylows der Ordnung 4 sind [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/ 2\IZ
[/mm]
Also gibt es zwei Isomorphieklassen mit: [mm] \IZ/ 5\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und
[mm] \IZ/ 5\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/ 2\IZ
[/mm]
2. Fall: es gibt 5 2- Sylows:
dazu benötige man ein semidirektes Produkt und einen Homomorphismus [mm] \phi [/mm] von der 2_ Sylow in Aut [mm] (\IZ/ 5\IZ [/mm] )
Meine frage: Hier geht es ziemlich umständlich und unverständlich weiter in unserer Verbesserung. Gibt es ein Verfahren, das man hier leicht anwenden kann und geht das immer wenn man Isomorphieklassen bei einer Gruppe bestimmen soll, von der man nur die Gruppenordnung kennt?
Warum weiß man dass man im 1. Fall schon fertig ist und für den 2. Fall das semidirekte Produkt benötigt?
Beim 2. Fall stoßen wir auf zusätzliche 3 Isomorphieklassen, warum nicht fünf, wo man doch 5 2-Sylows hat? Spielt die Anzahl der Sylows nur dabei eine Rolle dass man weiß ob die Sylow ein Normalteiler ist oder nicht?
Mir ist da so einiges nicht klar. Leider schreibe ich am Samstag vormittag schon die Prüfung. Wär also toll, wenn mir jemand vorher zu ein bisschen Klarheit verhelfen könnte, denn anscheinend kommt so eine Frage in der Prüfung dran.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 23.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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