Isomorphie von Vertorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Mork_ |
| Aufgabe | U,V [mm] \IR [/mm] VRe
U = { [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 [/mm] }
V = { [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] } [mm] \subset M(2\times2; \IR)
[/mm]
i) Sind die Vekroräume isomorph zueiander ?
ii) Falls ja, gib den Isomorphismus explizit an! |
Ich habe gar keien Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll.
Meine Idee war ein f zu finden, das f: U [mm] \to [/mm] V geht und [mm] \vektor {x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}\mapsto \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] abbildet, aber ich kann doch nicht von etwas 1dim nach etwas 2dim gehen ???
Muss ich überprüfen, ob f( [mm] \lambda [/mm] u+ v) = [mm] \lambda [/mm] f(u) + f(v) für alle v [mm] \in [/mm] V u [mm] \in [/mm] U wenn ich wissen will ob U [mm] \cong [/mm] V ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 04.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Meine Idee war ein f zu finden, das f: U [mm]\to[/mm] V geht und
> [mm]\vektor {x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}\mapsto \pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm]
> abbildet, aber ich kann doch nicht von etwas 1dim nach
> etwas 2dim gehen ???
Wieso 1- bzw. 2-Dimensional?? U liegt im [mm] \IR^3, [/mm] der ist dreidimensional, aber durch die einschränkende Bedingung ist doch
[mm]U = { \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\-x_1 - x_2}: x_1,x_2 \in \IR }[/mm]
und da habe ich nur noch zwei "wahlfreie" Koordinaten, d.h. ich bin höchstens in einem 2-Dimensionalen Raum.
Genauso liegt V ja im [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] , der eigentlich 4-Dimensional wäre, aber durch die spezielle Form komme ich auch hier wieder auf zwei Dimensionen.
> Muss ich überprüfen, ob f( [mm]\lambda[/mm] u+ v) = [mm]\lambda[/mm] f(u) +
> f(v) für alle v [mm]\in[/mm] V u [mm]\in[/mm] U wenn ich wissen will ob U
> [mm]\cong[/mm] V ?
>
Du musst jetzt Deine Abbildung [mm]f: (x_1,x_2) \mapsto (a,b)[/mm] so definieren, dass genau diese Bedingung gilt....
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Mork_ |
Dann ist meine Idee schon der richtige Weg, ich weiß aber trotzdem nicht wie ich weiter machen muss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 04.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
die beiden VRe sind isomorph - versuch's doch mal mit der Abbildung
[mm] \vektor{a \\ b \\ -a-b} \mapsto \pmat{ a & b \\ -b & a }
[/mm]
Es lässt sich recht einfach zeigen, dass dies ein bijektiver Homomorphismus ist, probier's mal!
Falls Du Schwierigkeiten haben solltest, schreib' doch nochmal!
Viel Erfolg und schöne Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:25 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Mork_ |
Das ich durch die Einschrenkungen einen Isomorphismus finden kann ist mir nun klar, aber ich weiß immer noch nicht wie ich die Eigenschaften [mm] f(\lambda [/mm] u+v)= [mm] \lambda [/mm] f(u) + f(v) mit v=(a, b) und u=( [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] )
zeigen soll, ich bekomme immer nur murks raus :-((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hier ist im Prinzip nichts zu zeigen, da die Homomorphieeigenschaft völlig klar ist. Zudem sind endlichdimensionale Vektorräume der gleichen Dimension immer isomorph.
Aber, der Vollständigkeit halber:
Mit $u= [mm] \pmat{a \\b}$ [/mm] und $v = [mm] \pmat{x \\ y}$ [/mm] gilt:
[mm] $f(u+\lambda [/mm] v)$
$=f [mm] \left( \pmat{a +\lambda x \\ b + \lambda y \\ - a - \lambda x -b - \lambda y} \right)$
[/mm]
[mm] $=\pmat{ a + \lambda x & b + \lamdba y \\ -b-\lambda y & a + \lambda x}$
[/mm]
[mm] $=\pmat{a & b \\ -b & a} [/mm] + [mm] \lambda \cdot \pmat{x & y \\ -y & x}$
[/mm]
$= f(u) + [mm] \lambda \cdot [/mm] f(v)$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Mork_ |
Ich habe mit den obigen "Lösungen" jetzt gezeigt, dass ich eine lineare Abb. habe. Für einen Isomorphismus brauche ich doch noch Bijektivität;
Folgt die Bijektivität direkt daraus, das ich eine lineare Abb. habe und zwei VRe die gleiche Dimension haben - oder muss ich da noch etwas beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 08.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
es ist richtig : wenn du einen Isomorphismus angeben sollst, dann musst du Linearität und Bijektivität nachweisen.
Zum beispiel ist die Nullabbildung auch linear, aber sicher kein Isomorphismus (bei diesen Vektorräumen).
also musst du noch Injektivität oder Surjektivität zeigen, dies reicht ja aus, wie an anderer Stelle schon erwähnt wurde...
viele Grüße
DaMenge
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Hallo!
Es gibt in LA einen Satz, dass bei endlich dimensionalen VR´s äquivalent sind:
a)Injektivität
b)Surjektivität
Das heißt du musst nur eines von beiden zeigen.
z.b. für die Injektivität müsstet du dann, wenn ich nicht irre zeigen, dass:
Wenn [mm] $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$.
[/mm]
Gruß Martin
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