Isomorphie von Vektorräumen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Eine grundlegende Erkenntnis in der Theorie der Vektorräume ist, dass endlichdimensionale Vektorräume bei gleicher Dimension isomorph sind. Um dies zu beweisen wollen wir zunächst Folgendes zeigen:
Seien V,W K-Vektorräume. Nun gilt für f [mm] \in [/mm] Hom(V,W): f ist ein Isomorphismus,
genau dann wenn [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] eine Basis von W ist
(wobei [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine beliebige Basis von V sei).
Beweisen Sie diese Aussage ohne Nutzung der Dimensionsformel. |
Hallo,
ich habe mir zu dieser Aufgabe zwar überlegt, dass man dies wohl über die Surjektivität und Injektivität zeigen muss, wenn die Dimensionsformel wegfällt, aber ich weiß nicht wie ich jetzt hier vorgehe um zu beweisen, dass das genau dann stimmt.
Hätte mir jemand eine Tipp?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Eine grundlegende Erkenntnis in der Theorie der Vektorräume ist, dass endlichdimensionale Vektorräume bei gleicher Dimension isomorph sind. Um dies zu beweisen wollen wir zunächst Folgendes zeigen:
Seien V,W K-Vektorräume. Nun gilt für f [mm] \in [/mm] Hom(V,W): f ist ein Isomorphismus,
genau dann wenn [mm] (f(v_{1}),..., f(v_{n})) [/mm] eine Basis von W ist
(wobei [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine beliebige Basis von V sei).
Beweisen Sie diese Aussage ohne Nutzung der Dimensionsformel. |
Hallo,
ich habe glaube ich verstanden, dass ich jetzt hier mit Surjektivität und Injektivitär arbeiten muss aber ich hab keine ahnung wie ich des jetzt genau beweisen soll und wie ich hier vorgehe...
Hätte mir jemand einen Tipp?
Vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal eine Richtung vor:
Sei f ein Isomorphismus und [mm] v_1, ...,v_n [/mm] eine Basis,Zu zeigen: [mm] f(v_1), [/mm] ..., [mm] f(v_n) [/mm] ist eine Basis.
Sei also 0= [mm] t_1f(v_1)+ [/mm] ... [mm] +t_nf(v_n). [/mm] Dann 0= [mm] f(t_1v_1 [/mm] +... [mm] +t_nv_n). [/mm] Da f injektiv ist, folgt: [mm] t_1v_1 [/mm] +... [mm] +t_nv_n [/mm] = 0. [mm] v_1, ...,v_n [/mm] sind linear unabhängig, also ist
[mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] = ... = [mm] t_n [/mm] = 0
FRED
|
|
|
| |
|
> Eine grundlegende Erkenntnis in der Theorie der Vektorräume
> ist, dass endlichdimensionale Vektorräume bei gleicher
> Dimension isomorph sind. Um dies zu beweisen wollen wir
> zunächst Folgendes zeigen:
>
> Seien V,W K-Vektorräume. Nun gilt für f [mm]\in[/mm] Hom(V,W): f
> ist ein Isomorphismus,
> genau dann wenn [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] eine Basis von W
> ist
> (wobei [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] eine beliebige Basis von V sei).
> Beweisen Sie diese Aussage ohne Nutzung der
> Dimensionsformel.
> Hallo,
>
> ich habe mir zu dieser Aufgabe zwar überlegt, dass man dies
> wohl über die Surjektivität und Injektivität zeigen muss,
Hallo,
ja, so wird es sein.
> wenn die Dimensionsformel wegfällt, aber ich weiß nicht wie
> ich jetzt hier vorgehe um zu beweisen, dass das genau dann
> stimmt.
> Hätte mir jemand eine Tipp?
Es ist sehr wichtig, daß man sich aufschreibt, was man genau zeigen muß:
Hier ist es zweierlei:
Man hat einen VR V mit Basis [mm] (v_1 [/mm] ,..., [mm] v_n), [/mm] und einen Homomorphsmus f: [mm] V\to [/mm] W , und man muß zeigen:
1. f injektiv und surjektiv ==> [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] ist eine Basis von W
2. [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] ist eine Basis von W ==> f injektiv und surjektiv
zu 1) Das könntest Du wie folgt machen: sei f injektiv (wie ist dann der Kern der Abbildung?) und surjektiv . Nimm an, daß [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] keine Basis ist und führe das zum Widerspruch.
Woran könnte die Basiseigenschaft scheitern? An der linearen Unabhängigkeit, oder daran, daß die [mm] f(v_i) [/mm] kein Erzeugendensystem sind.
zu 2) Die Surjektivität folgt ja sofort.
Für die Injektivität berechne Kern f.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 25.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hi Angela,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe jetzt Folgendes gemacht:
Vor: V,W K-VR, f [mm] \in [/mm] Hom(V,W), [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] Basis von V
Beh: f ist Isomorphismus [mm] \gdw (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] Basis von W ist.
Bew: " [mm] \Rightarrow [/mm] " :
Vor: f ist Isomorphismus, d.h. f ist bijektiv
Weil f injektiv ist gilt: Ker(f) = [mm] \{0\}
[/mm]
Angenommen: [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] sei keine Basis:
Dann müsste entweder gelten, dass 1. [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] sind linear abhängig oder 2. [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] sind kein Erzeugendensystem, d.h. [mm] L((f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] ) [mm] \not= [/mm] V
zu 1. : Angenommen also [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] sind linear abh.
Dann müsste die Gleichung 0= [mm] \mu_{1}\*f(v_{1})+...+\mu_{n}\*f(v_{n}) [/mm] mindestens eine nicht triviale Lösung haben.
Das kann aber nicht sein, weil f injektiv und somit der Ker(f)= [mm] \{0\} [/mm] ist.
Damit muss gelten, dass [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] linear unabh. sind.
zu 2. : Angenommen [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] sei kein Erzeugendensystem
Dies lässt sich durch folgenden Satz widerlegen:
Ist f: V->W ein Isomorphismus, so gilt dies auch für [mm] f^{-1}: [/mm] W->V
Somit ist klar, dass [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n})) [/mm] ein Erzeugendensystem sein muss.
[mm] \Rightarrow [/mm] : [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] ist eine Basis.
[mm] "\Leftarrow" [/mm] :
Vor: [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] ist eine Basis.
Die Surjektivität folgt sofort.
!!!Könntest du mir vielleicht nochmal erklären, warum dies so ist?
Injektivität:
0= [mm] f^{-1}*\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(v_{i})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0= [mm] f^{-1}*f* \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0= [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wg [mm] v_{i} [/mm] lin unabh. [mm] \lambda_{i}= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] i=1,...n
[mm] \Rightarrow [/mm] einzige Lösung 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Ker(f)= [mm] \{0\} \Rightarrow [/mm]
f injektiv
Hier bei dem zweiten Teil bin ich mir aber ziemlich unsicher, ob ich das so machen kann?
Wär nett, wenn du nochmal drüberschauen könntest.
Vielen Dank!
Grüße
|
|
|
| |
|
> Vor: V,W K-VR, f [mm]\in[/mm] Hom(V,W), [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] Basis
> von V
>
> Beh: f ist Isomorphismus [mm]\gdw (f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] Basis
> von W ist.
>
> Bew: " [mm]\Rightarrow[/mm] " :
> Vor: f ist Isomorphismus, d.h. f ist bijektiv
> Weil f injektiv ist gilt: Ker(f) = [mm]\{0\}[/mm]
>
> Angenommen: [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] sei keine Basis:
>
> Dann müsste entweder gelten, dass 1.
> [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] sind linear abhängig oder 2.
> [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] sind kein Erzeugendensystem, d.h.
> [mm]L((f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] ) [mm]\not=[/mm] V
>
> zu 1. : Angenommen also [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] sind linear
> abh.
>
> Dann müsste die Gleichung 0=
> [mm]\mu_{1}\*f(v_{1})+...+\mu_{n}\*f(v_{n})[/mm] mindestens eine
> nicht triviale Lösung haben.
> Das kann aber nicht sein, weil f injektiv und somit der
> Ker(f)= [mm]\{0\}[/mm] ist.
Hallo,
das stimmt, aber das mußt Du genauer ausführen, indem Du in 0= [mm]\mu_{1}\*f(v_{1})+...+\mu_{n}\*f(v_{n})[/mm] die Homomorphismuseigenschaften verwendest.
> Damit muss gelten, dass [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] linear
> unabh. sind.
>
> zu 2. : Angenommen [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] sei kein
> Erzeugendensystem
>
> Dies lässt sich durch folgenden Satz widerlegen:
>
> Ist f: V->W ein Isomorphismus, so gilt dies auch für
> [mm]f^{-1}:[/mm] W->V
Das überzeugt mich nicht.
Es müßte zumindest genauer ausgeführt werden.
Aber warum führst Du nicht die Surjektivität von f an und rechnest vor, daß jedes Element aus W von den [mm] f(v_i) [/mm] erzeugt wird?
>
> Somit ist klar, dass [mm]f(v_{1}),...,f(v_{n}))[/mm] ein
> Erzeugendensystem sein muss.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] : [mm]f(v_{1}),...,f(v_{n})[/mm] ist eine Basis.
>
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] :
>
> Vor: [mm]f(v_{1}),...,f(v_{n})[/mm] ist eine Basis.
>
> Die Surjektivität folgt sofort.
> !!!Könntest du mir vielleicht nochmal erklären, warum dies
> so ist?
Wenn die [mm] f(v_i) [/mm] eine Basis bilden, sind sie insbesondere ein Erzeugendensystem, d. jedes [mm] w\in [/mm] W kann man schreiben als [mm] \summe a_if(v_i).
[/mm]
Wenn Du nun die Eigenschaften der Linearität verwendest, siehst Du, daß auf jedes Element aus W tatsächlich eines aus V abgebildet wird.
> Injektivität:
>
> 0= [mm]f^{-1}*\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(v_{i})[/mm]
Das geht nicht. Du verwendest [mm] f^{-1}, [/mm] aber die Existenz dieser Funktion steht doch in den Sternen.
Wir wissen ja gar nicht, ob f bijektiv ist.
Versuch's mal so:
Sei [mm] v:=\summe a_iv_i \in [/mm] Kernf
==> usw. und nun zeigst Du, daß die Koeffizienten alle =0 sein müssen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hi Angela,
vielen Dank für deine ausführliche Korrektur. Jetzt ist mir eigentlich alles klar!
Hast mir sehr geholfen...
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast die gleiche Frage hier
https://matheraum.de/read?t=475797
schon gestellt. Sie wurde von mir (teilweise) beantwortet.
FRED
|
|
|
|
