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| Aufgabe | | Sind [mm] \IR^{x} [/mm] und [mm] \IC^{x} [/mm] isomorph? |
Hallo allerseits (schon wieder, ich weiß ... ;-p)!
Das mag jetzt vielleicht banal erscheinen, aber auch hier komme ich nicht weiter: Wie sehe ich denn, ob die multiplikativen (!) Gruppen [mm] \IR^{x} [/mm] = [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] und [mm] \IC^{x} [/mm] = [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] isomorph sind oder nicht?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß,
Alex
P.S. (...):
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Math_Preacher,
hier könntest Du z.B. die Untergruppe [mm]E:=\{\pm 1, \pm i\}[/mm] von [mm]\IC^\times[/mm] betrachten, wobei Du annimmst, daß [mm]\phi\colon \IC^\times \to \IR^\times[/mm] ein Isomorphismus ist. Dann ist [mm]\phi(E)[/mm] als Bild einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch. Jetzt nimm Dir eine Zahl [mm]r \in \IR \ \{0, \pm 1\}[/mm], setze [mm]\phi(i)=r[/mm] und schau mal ob Du so zu einem Widerspruch kommst.
Hth
zahlenspieler
P.S.: Entschuldige meine 1. Antwort, weiß nicht wie das passiert ist ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .
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Lieber zahlenspieler,
ich möchte nicht undankbar erscheinen, aber meine Aufgabe hat mit Deinem Link nicht wirklich etwas zu tun:
Ich möchte herausfinden, ob die multiplikativen Gruppen [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] und [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] zueinander isomorph sind - daß sie mit der Multiplikation jeweils Gruppen sind, ist nicht nur klar, sondern sogar bereits gegeben, und ist damit nicht mehr zu zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hier könntest Du z.B. die Untergruppe [mm]E:=\{\pm 1, \pm i\}[/mm]
> von [mm]\IC^\times[/mm] betrachten, wobei Du annimmst, daß
> [mm]\phi\colon \IC^\times \to \IR^\times[/mm] ein Isomorphismus ist.
> Dann ist [mm]\phi(E)[/mm] als Bild einer zyklischen Gruppe wieder
> zyklisch. Jetzt nimm Dir eine Zahl [mm]r \in \IR \ \{0, \pm 1\}[/mm],
> setze [mm]\phi(i)=r[/mm] und schau mal ob Du so zu einem Widerspruch
> kommst.
Genau. Alternativ kann man sich auch die Nicht-Existenz von Quadratwurzeln bestimmter Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] anschauen; in [mm] $\IC$ [/mm] hat ja jedes Element eine Quadratwurzel.
LG Felix
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