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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mi 09.03.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich hätte hier eine Aufgabe, die ich versucht habe zu lösen, aber leider weiß ich nicht wie.
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen, und mir sagen, wie ich es machen kann.
Danke schön!
Das ist die Aufgabe:
Seien [mm] e_{1} [/mm] = (1,0,0), [mm] e_{2} [/mm] = (0,1,0) und [mm] e_{3} [/mm] = (0,0,3) die kanonischen Basisvektoren im [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Weiter seien U = [mm] , [/mm] W = [mm] .
[/mm]
Zeige, dass U/(U [mm] \cap [/mm] W) und [mm] \IR^{3}/W [/mm] isomorph sind.
Ich habe mir folgendes überlegt:
Definiere f wie folgt:
f: U [mm] \to \IR^{3}/W [/mm] mit [mm] f(a_{1} e_{1} [/mm] + [mm] a_{2} e_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1},y_{1},z_{1}) [/mm] + W
Außerdem definiere ker(f) = (U [mm] \cap [/mm] W).
Dann kann ich doch zeigen, dass f linear ist. Aber man hat mir gesagt, dass es falsch ist, so wie ich die Dinge gewählt habe.
Warum ist es falsch und könnt ihr bitte sagen, was die richtige Lösung wäre.
Vielen, vielen Dank!
Ciao!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo VHN!
> f: U $ [mm] \to \IR^{3}/W [/mm] $ mit $ [mm] f(a_{1} e_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{2} e_{2}) [/mm] $ = $ [mm] (x_{1},y_{1},z_{1}) [/mm] $ + W
> Außerdem definiere ker(f) = (U $ [mm] \cap [/mm] $ W).
Der Homomorphismus $f$ muss doch den Faktorraum [mm] $U/(U\cap [/mm] W)$ auf [mm] $\IR^3/ [/mm] W$ abbilden. In deiner Definition betrachtest du allerdings Elemente aus $U$, keine Nebenklassen des genannten Faktorraumes.
Folgende Überlegungen sollten fruchtbarer sein:
Was macht eine Nebenklasse in [mm] $U/(U\cap W)=U/\langle e_2\rangle$ [/mm] aus? Wann sind zwei Nebenklassen gleich? Seien [mm] $a_1\cdot e_1+a_2\cdot e_2+\langle e_2\rangle$ [/mm] und [mm] $b_1\cdot e_1+b_2\cdot e_2+\langle e_2\rangle$, [/mm] dann folgt nach dem Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen [mm] $e_1(a_1-b_1)+e_2(a_2-b_2)\in \langle e_2\rangle\gdw a_1=b_1$. [/mm] Du siehst also, dass die Wahl des Koeffizienten vor [mm] $e_1$ [/mm] eine Nebenklasse in [mm] $U/(U\cap [/mm] W)$ eindeutig bestimmt.
Betrachten wir nun den Faktorraum [mm] $\IR^3/W=\IR^3/\langle e_2,e_3\rangle$. [/mm] Sind zwei Nebenklassen [mm] $a_1\cdot e_1+a_2\cdot e_2\cdot a_3\cdot e_3+\langle e_2,e_3\rangle$ [/mm] und [mm] $b_1\cdot e_1+b_2\cdot e_2+\langle e_1,e_2\rangle$ [/mm] gleich, so folgt durch ähnliche Überlegung wie oben, dass [mm] $e_1(a_1-b_1)+e_2(a_2-b_2)+e_3(a_3-b_3)\in \langle e_2,e_3\rangle\gdw a_1=a_2$ [/mm] gelten muss. Wie du siehst, wird auch in [mm] $\IR^3/W$ [/mm] eine Nebenklasse eindeutig durch die Wahl des Koeffizienten vor [mm] $e_1$ [/mm] bestimmt.
Der gesuchte Isomorphismus lässt nun nicht mehr lange aufsich warten, wir definieren:
[mm] $f:U/(U\cap W)\to \IR^3/W$
[/mm]
[mm] $f(a_1\cdot e_1+a_2\cdot e_2+U/(U\cap W))=a_1\cdot e_1+e_2+e_3+W$
[/mm]
Nach obigen Überlegungen ist es klar, dass $f$ wohldefiniert ist (es ist wichtig, dass du dies bei der Konstruktion von Faktorraumhomomorphismen berücksichtigst). Ebenso solltest du leicht zeigen können, dass $f$ linear und surjektiv, daher auch injektiv und somit ein Isomorphismus ist. Es gilt also [mm] $U/(U\cap W)\cong \IR^3/W$, [/mm] was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 31.03.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, hanno!
Vielen dank für deine hilfe.
allerdings hätte ich dazu noch einige fragen. ich bin mir nämlich nicht sicher, ob du dich vielleicht vertippt hast, oder ob ich es einfach falsch verstehe.
(1) An der stelle, wo du den Faktorraum [mm] \IR^{3} [/mm] betrachtest, dass durch "ähnliche Überlegungen wie oben" (zitat), dass ... (formel) [mm] \gdw a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] gelten muss. Muss es hier aber nicht [mm] a_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] lauten?
(2) das f, das du am ende deiner antwort definiert hast, wieso lautet es da
[mm] f(a_{1} e_{1} [/mm] + [mm] a_{2} e_{2} [/mm] + U / (U [mm] \cap [/mm] W)) = [mm] a_{1} e_{1} [/mm] + [mm] e_{2} [/mm] + [mm] e_{3} [/mm] + W ?
Muss es nicht so lauten:
[mm] f(a_{1} e_{1} [/mm] + [mm] a_{2} e_{2} [/mm] + (U [mm] \cap [/mm] W)) = [mm] a_{1} e_{1} [/mm] + [mm] a_{2} e_{2} [/mm] + [mm] a_{3} e_{3} [/mm] + W
Kannst du mir vielleicht noch verraten, wie ich vorgehen soll, wenn ich linear, injektiv und surjektiv zeigen will? nur ein tipp, bitte!
ich weiß, dass es für dich wahrscheinlich ziemlich einfach ist, aber ich häng da noch ein bisschen.
Vielen, vielen dank!
schönen abend noch!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
> allerdings hätte ich dazu noch einige fragen. ich bin mir
> nämlich nicht sicher, ob du dich vielleicht vertippt hast,
> oder ob ich es einfach falsch verstehe.
>
> (1) An der stelle, wo du den Faktorraum [mm]\IR^{3}[/mm]
> betrachtest, dass durch "ähnliche Überlegungen wie oben"
> (zitat), dass ... (formel) [mm]\gdw a_{1}[/mm] = [mm]a_{2}[/mm] gelten
> muss. Muss es hier aber nicht [mm]a_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] lauten?
Das ist richtig.
> (2) das f, das du am ende deiner antwort definiert hast,
> wieso lautet es da
> [mm]f(a_{1} e_{1}[/mm] + [mm]a_{2} e_{2}[/mm] + U / (U [mm]\cap[/mm] W)) = [mm]a_{1} e_{1}[/mm]
> + [mm]e_{2}[/mm] + [mm]e_{3}[/mm] + W ?
> Muss es nicht so lauten:
> [mm]f(a_{1} e_{1}[/mm] + [mm]a_{2} e_{2}[/mm] + (U [mm]\cap[/mm] W)) = [mm]a_{1} e_{1}[/mm] +
> [mm]a_{2} e_{2}[/mm] + [mm]a_{3} e_{3}[/mm] + W
Wegen [mm] $W=\langle e_2,e_3 \rangle$ [/mm] ist das egal. Beide Nebenklassen sind gleich. Es gilt:
[mm] $a_1e_1 [/mm] + [mm] a_2 e_2 [/mm] + [mm] a_3e_3 [/mm] + [mm] \langle e_2,e_3 \rangle [/mm] = [mm] a_1 e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] + [mm] e_3 [/mm] + [mm] \langle e_2,e_3 \rangle$.
[/mm]
Denn wann sind zwei Nebenklassen $a+W$ und $b+W$ gleich?
Genau dann, wenn $a-b [mm] \in [/mm] W$ gilt.
Probiere das hier bitte mal aus.
Die Surjektivität ist doch klar. Gebe dir ein
[mm] $a_1e_2 [/mm] + [mm] a_2 e_2 [/mm] + [mm] a_3e_3 [/mm] + W$ vor.
Dann gilt: [mm] $a_1e_1 [/mm] + [mm] U\cap [/mm] W [mm] \in [/mm] U/(U [mm] \cap [/mm] W)$ und
[mm] $f(a_1e_1 [/mm] + U [mm] \cap [/mm] W) = [mm] a_1 e_1 [/mm] + W = [mm] a_1e_2 [/mm] + [mm] a_2 e_2 [/mm] + [mm] a_3e_3 [/mm] + W$.
(Gleiches Argument wie oben über die Gleichheit von Nebenklassen...)
Naja, und die Linearität solltest du aber wohl selber hinbekommen, oder?  Versuche es doch mal und stelle deinen Lösungsvorschlag hier ins Forum. Wir kontrollieren ihn dann gerne. ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Viele Grüße
Julius
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