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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe V4 ein Normalteiler von (S4, [mm] \circ) [/mm] ist und das S4/V4 (die Faktorgruppe) isomorph zu [mm] (S3,\circ) [/mm] ist. |
Also dass V4 ein Normalteiler von S4 ist, habe ich bereits gezeigt, ich bin mir nur nicht sicher, ob mein Beweis, was die Isomorphie von S4/V4 und S3 betrifft, stimmt.
ich hab folgendermaßen argumentiert:
|S4/V4| = 6, also ist S4/V4 isomorph zu [mm] \IZ6 [/mm] (Restklassengruppe mod 6)
|S6| = 6, also ist S6 isomorph zu [mm] \IZ6 [/mm]
Da Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist, ist sie insbesondere transitiv, also folgt: S4/V4 ist isomorph zu S6.
Ist das in Ordnung?
lg,
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 06.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
> Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe V4 ein
> Normalteiler von (S4, [mm]\circ)[/mm] ist und das S4/V4 (die
> Faktorgruppe) isomorph zu [mm](S3,\circ)[/mm] ist.
> Also dass V4 ein Normalteiler von S4 ist, habe ich bereits
> gezeigt, ich bin mir nur nicht sicher, ob mein Beweis, was
> die Isomorphie von S4/V4 und S3 betrifft, stimmt.
>
> ich hab folgendermaßen argumentiert:
>
> |S4/V4| = 6, also ist S4/V4 isomorph zu [mm]\IZ6[/mm]
> (Restklassengruppe mod 6)
> |S6| = 6, also ist S6 isomorph zu [mm]\IZ6[/mm]
Vorsicht, das stimmt beides nicht! (Mal ganz davon abgesehen, dass das [mm] $S_6$ [/mm] wohl [mm] $S_3$ [/mm] sein soll.)
Richtig ist: jede Gruppe $G$ mit $|G| = 6$ ist entweder isomorph zu [mm] $\IZ_6$ [/mm] oder zu [mm] $S_3$, [/mm] und diese beiden sind nicht zueinander isomorph! Du musst also zeigen, dass deine Gruppe $S4/V4$ nicht isomorph zu [mm] $\IZ_6$ [/mm] ist. Nun unterscheidet sich [mm] $S_3$ [/mm] von [mm] $\IZ_6$ [/mm] z.B. dadurch, dass es nicht kommutativ ist und dass es kein Element der Ordnung 6 hat. Am Einfachsten ist wohl das zweitere nachzupruefen.
Dazu reicht es naemlich aus zu zeigen, dass [mm] $S_4$ [/mm] kein Element hat, dessen Ordnung ein Vielfaches von 6 ist. Du kannst sogar zeigen, dass Elemente aus [mm] $S_4$ [/mm] hoechstens die Ordnung 4 haben, woraus das natuerlich folgt.
Dazu kannst du benutzen, dass sich jede Permutation als Verkettung von disjunkten Zyklen schreiben laesst und dass die Ordnung einer Verkettung von disjunkten Zyklen gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zykellaenge ist. (Wenn ihr diese Aussagen noch nicht hattet, musst du sie auch noch zeigen.)
> Da Isomorphie eine Äquivalenzrelation ist, ist sie
> insbesondere transitiv
Ja, das ist sie.
LG Felix
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