Isometrie an Matrix zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mi 01.11.2006 | | Autor: | demo |
| Aufgabe | Es sei h: [mm] \IR [/mm] ^2 -> [mm] \IR [/mm] ^2 die Abbildung
h [mm] (x_1 [/mm] ; [mm] x_2) [/mm] = [mm] ((-1/2)(x_1 +\wurzel{3} x_2) [/mm] ; 4+ [mm] (1/2)(x_2 [/mm] - [mm] \wurzel{3}x_1))
[/mm]
Zeigen Sie, dass h eine Isometrie ist, schreiben sie h = [mm] t_b \gamma [/mm] mit einer linearen Isometrie [mm] \gamma [/mm] und ienemm b [mm] \el \IR^2 [/mm] und bestimmen sie den Typ von h (Translation, ..)
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ICh verstehe die Definition von Isometrie (eine Funktion, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik erhält.
Sind zwei metrische Räume [mm] (M_1,d_1), (M_2,d_2) [/mm] gegeben, und f : [mm] M_1 ->M_2 [/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft
[mm] d_2(f(x),f(y)) [/mm] = [mm] d_1(x,y),
[/mm]
aber wie kann man das auf dieses konkrete Beispiel anwenden? Muss ich den Betrag verwenden(wie?)?
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> Es sei h: [mm]\IR[/mm] ^2 -> [mm]\IR[/mm] ^2 die Abbildung
> h [mm](x_1[/mm] ; [mm]x_2)[/mm] = [mm]((-1/2)(x_1 +\wurzel{3} x_2)[/mm] ; 4+
> [mm](1/2)(x_2[/mm] - [mm]\wurzel{3}x_1))[/mm]
> Zeigen Sie, dass h eine Isometrie ist, schreiben sie h =
> [mm]t_b \gamma[/mm] mit einer linearen Isometrie [mm]\gamma[/mm] und ienemm b
> [mm]\el \IR^2[/mm] und bestimmen sie den Typ von h (Translation,
> ..)
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> ICh verstehe die Definition von Isometrie (eine Funktion,
> die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die
> Metrik erhält.
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> Sind zwei metrische Räume [mm](M_1,d_1), (M_2,d_2)[/mm] gegeben, und
> f : [mm]M_1 ->M_2[/mm] eine Abbildung mit der Eigenschaft
>
> [mm]d_2(f(x),f(y))[/mm] = [mm]d_1(x,y),[/mm]
>
> aber wie kann man das auf dieses konkrete Beispiel
> anwenden? Muss ich den Betrag verwenden(wie?)?
Hallo,
da wir es mit dem [mm] \IR^2 [/mm] zu tun haben, würde ich als Metrik die euklidische Metrik nehmen, den Betrag des "Differenzvektors".
> Zeigen Sie, dass h eine Isometrie ist, schreiben sie h =
> [mm]t_b \gamma[/mm] mit einer linearen Isometrie [mm]\gamma[/mm] und ienemm b
Kannst Du lineare Isometrie erklären?
Achso: eine lineare Abb., die den Abstand erhält? Richtig?
Und [mm] t_b? [/mm] Oh, das Aufschreiben von Fragen hilft... Eine Translation in Richtung b?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 01.11.2006 | | Autor: | demo |
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> da wir es mit dem [mm]\IR^2[/mm] zu tun haben, würde ich als Metrik
> die euklidische Metrik nehmen, den Betrag des
> "Differenzvektors".
Was meinst du mit Differenzenvektor?? Mti dem Betrag hab ich auch versucht zu arbeiten aber bin zu nix gescheitem gekommen..
> > Zeigen Sie, dass h eine Isometrie ist, schreiben sie h =
> > [mm]t_b \gamma[/mm] mit einer linearen Isometrie [mm]\gamma[/mm] und ienemm b
>
> Kannst Du lineare Isometrie erklären?
> Achso: eine lineare Abb., die den Abstand erhält?
> Richtig?
genau, aber ich weisst nicht wie ich es zeigen kann, va. die 4 macht mir zu schaffen..
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Hallo,
jetzt nehmen wir mal zwei Elemente des [mm] \IR^2 [/mm] daher:
Seien [mm] (x_1,x_2), (y_1,y_2) \in \IR^2.
[/mm]
Was ist [mm] d((x_1,x_2), (y_1,y_2))?
[/mm]
Es ist [mm] d((x_1,x_2), (y_1,y_2))=\parallel (x_1,x_2)-(y_1,y_2)\parallel_2
[/mm]
[mm] =\parallel (x_1-y_1,x_2-y_2)\parallel_2 =\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}
[/mm]
Das mußt Du nun mit
[mm] d(h(x_1,x_2), h(y_1,y_2)) [/mm] vergleichen.
Die 4 dürfte Dich eigentlich nicht stören - durch die Subtraktion verschwindet sie ja...
(Vielleicht kann ich Dir besser helfen, wenn ich mal SEHE, was Du meinst, was [mm] d(h(x_1,x_2), h(y_1,y_2)) [/mm] ist...)
Gruß v. Angela
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