Irreduziblität Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Für welche a [mm] \in \IZ [/mm] ist das Polynom f = [mm] t^4+ at^3 [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + t + 1 [mm] \in \IQ[/mm] [t] in [mm] \IQ[/mm] [t] reduzibel? |
Hab nun folgende Fälle:
1) a ungerade, dafür ist es irreduzibel
2)i) a<3:Dort ist es für a=2 reduzibel für a=0 und a=1 irreduzibel
ii) a>3:
wollte da nun die Fälle
a=1(mod 3), a=2(mod 3) und a=0(mod 3) betrachten.
Für a=1(mod 3) habe ich bereits gezeigt, dass es auch irreduzibel ist, bei a=2(mod 3) und a=0(mod 3) komme ich nicht weiter, weil ich dort die Reduziblität nicht ausgeschlossen bekomme.
Weiß da jemand weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Sa 01.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für welche a [mm]\in \IZ[/mm] ist das Polynom f = [mm]t^4+ at^3[/mm] + [mm]t^2[/mm] +
> t + 1 [mm]\in \IQ[/mm] [t]in [mm]\IQ[/mm] [t]reduzibel?
>
> Hab nun folgende Fälle:
> 1) a ungerade, dafür ist es irreduzibel
Du hast das vermutlich modulo 2 gemacht, oder? Und gezeigt dass es dort weder eine Nullstelle hat noch das Produkt zweier irreduzibler quadratischer Faktoren ist?
> 2)i) a<3:Dort ist es für a=2 reduzibel für a=0 und a=1 irreduzibel
Und was ist mit negativen Werten von $a$?
> ii) a>3:
> wollte da nun die Fälle
> a=1(mod 3), a=2(mod 3) und a=0(mod 3) betrachten.
> Für a=1(mod 3) habe ich bereits gezeigt, dass es auch irreduzibel ist, bei a=2(mod 3) und a=0(mod 3) komme ich nicht weiter, weil ich dort die Reduziblität nicht ausgeschlossen bekomme.
> Weiß da jemand weiter?
Ich wuerd etwas anders anfangen. Zuerst mal der Fall, dass $f$ einen Linearfaktor hat. Dieser muss in [mm] $\IZ$ [/mm] sein und das Konstante Glied 1 teilen, womit nur [mm] $\pm [/mm] 1$ in Frage kommt. Man sieht schnell, dass $f$ nur dann eine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] haben kann, wenn $a [mm] \in \{ 2, -4 \}$ [/mm] ist.
Dann schreibe $f = [mm] (x^2 [/mm] + b x + c) [mm] (x^2 [/mm] + d x + e)$ mit $b, c, d, e [mm] \in \IZ$; [/mm] laut Gauss muss die Faktorisierung diese Form haben wenn $f$ nicht irreduzibel ist und auch keine Nullstellen in [mm] $\IQ$ [/mm] hat. Man kann jetzt mit Ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich und ein paar Umformungen herausfinden, dass $c e = 1$ sein muss und somit $c = e$ ist, und dass $a = c = e = [mm] \pm [/mm] 1$ sein muss. Damit gibt es zwei Faelle, die man untersuchen muss, und in beiden sieht man modulo 2, dass es irreduzibel ist.
LG Felix
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