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| Aufgabe | Sei R ein Ring.
[mm] f(X)\in [/mm] R[X] ist genau dann irreduzibel, wenn [mm] f(X+1)\in [/mm] R[X] irreduzibel ist. |
Hallo,
überall wird dieses Kriterium benutzt, aber nie gesagt, warum es überhaupt richtig ist. Ist das so trivial? Ich hätte es mir mal so hergeleitet:
Sei f(X) reduzibel. Dann kann ich schreiben f=gh mit g,h sind Nichteinheiten in R[X]. Wenn das Nichteinheiten sind, muss ihr Grad größer 0 sein. Dann gilt aber auch f(X+1)=g(X+1)h(X+1) und g(X+1), h(X+1) sind ebenfalls Nichteinheiten. Also f(X+1) reduzibel.
Ist also f(X+1) irreduzibel, muss f(X) auch irreduzibel sein.
Die andere Richtung folgt komplett analog.
Dann könnte man das X+1 in dem Satz doch aber auch durch ein X+a mit [mm] a\in [/mm] R beliebig ersetzen. Insbesondere würde es dann doch auch für additive Inverse gelten. Ist das richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 So 19.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R ein Ring.
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> [mm]f(X)\in[/mm] R[X] ist genau dann irreduzibel, wenn [mm]f(X+1)\in[/mm]
> R[X] irreduzibel ist.
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> überall wird dieses Kriterium benutzt, aber nie gesagt,
> warum es überhaupt richtig ist. Ist das so trivial? Ich
> hätte es mir mal so hergeleitet:
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> Sei f(X) reduzibel. Dann kann ich schreiben f=gh mit g,h
> sind Nichteinheiten in R[X]. Wenn das Nichteinheiten sind,
> muss ihr Grad größer 0 sein. Dann gilt aber auch
> f(X+1)=g(X+1)h(X+1) und g(X+1), h(X+1) sind ebenfalls
> Nichteinheiten. Also f(X+1) reduzibel.
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> Ist also f(X+1) irreduzibel, muss f(X) auch irreduzibel
> sein.
>
> Die andere Richtung folgt komplett analog.
Genau.
> Dann könnte man das X+1 in dem Satz doch aber auch durch
> ein X+a mit [mm]a\in[/mm] R beliebig ersetzen. Insbesondere würde
> es dann doch auch für additive Inverse gelten. Ist das
> richtig so?
Genau.
Allgemein: ist $R$ ein Ring (kommutativ mit 1), so ist fuer jedes [mm] $\lambda \in [/mm] R$ die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : f(x) [mm] \mapsto [/mm] f(x + [mm] \lambda)$ [/mm] ein Ringautomorphismus $R[x] [mm] \to [/mm] R[x]$. (Als Einsetzungshomomorphismus ist es ein Homomorphismus, und man sieht sofort dass $f(x) [mm] \mapsto [/mm] f(x - [mm] \lambda)$ [/mm] eine Umkehrabbildung ist, womit es bijektiv ist.)
Und Ringisomorphismen erhalten Einheiten, reduzible und irreduzible Elemente. Somit ist $f [mm] \in [/mm] R[x]$ genau dann irreduzibel, wenn [mm] $\varphi(f) [/mm] = f(x + [mm] \lambda)$ [/mm] irreduzibel ist.
LG Felix
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