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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Beweise: Folgendes Polynom ist irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] [x]:
P = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 6x^2+7 [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Da in diesem Fall das Eisensteinkriterium ja nicht funktioniert,
habe ich verzucht die Irreduzibilität von P zu zeigen, indem ich geschaut habe, ob P Nullstellen in [mm] \IQ [/mm] hat (was ja geht, da deg P [mm] \le [/mm] 3 ist).
Dazu habe ich die möglichen Nullstellen bestimmt, die da wären:
[mm] NS_{1} [/mm] = -1
[mm] NS_{2}= [/mm] 1
[mm] NS_{3}= [/mm] 7
[mm] NS_{4}= [/mm] -7
Wenn ich diese Werte in P(X) eingesetzt habe, kam raus, dass das Polynom P keine Nullstellen in [mm] \IQ [/mm] hat.
/Rightarrow P ist irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] [x].
Kann ich das so machen?
Und nun eine weitere Frage:
In einer Lösung zu der Aufgabe habe ich gesehen, dass man auch das Reduktionskriterium anwenden kann.
Wenn ich mod 3 rechne, kommt doch folgendes Polynom raus,oder?
[mm] \overline{P} [/mm] = [mm] x^3 [/mm] +2.
Kann ich dann auf dieses Polynom Eisensteinkriterium für p =2 anwenden ?
Oder muss ich wieder Nullstellen von [mm] \overline{P} [/mm] suchen, da deg [mm] \overline{P} \le [/mm] 3 ?
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Hallo,
> Beweise: Folgendes Polynom ist irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] [x]:
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> P = [mm]x^3[/mm] + [mm]6x^2+7[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Da in diesem Fall das Eisensteinkriterium ja nicht
> funktioniert,
> habe ich verzucht die Irreduzibilität von P zu zeigen,
> indem ich geschaut habe, ob P Nullstellen in [mm]\IQ[/mm] hat (was
> ja geht, da deg P [mm]\le[/mm] 3 ist).
> Dazu habe ich die möglichen Nullstellen bestimmt, die da
> wären:
> [mm]NS_{1}[/mm] = -1
> [mm]NS_{2}=[/mm] 1
> [mm]NS_{3}=[/mm] 7
> [mm]NS_{4}=[/mm] -7
>
> Wenn ich diese Werte in P(X) eingesetzt habe, kam raus,
> dass das Polynom P keine Nullstellen in [mm]\IQ[/mm] hat.
> /Rightarrow P ist irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] [x].
>
> Kann ich das so machen?
Ja.
>
> Und nun eine weitere Frage:
>
> In einer Lösung zu der Aufgabe habe ich gesehen, dass man
> auch das Reduktionskriterium anwenden kann.
> Wenn ich mod 3 rechne, kommt doch folgendes Polynom
> raus,oder?
>
> [mm]\overline{P}[/mm] = [mm]x^3[/mm] +2.
Nein.
> Kann ich dann auf dieses Polynom Eisensteinkriterium für
> p =2 anwenden ?
Nein. p=2 ist kein Primelement in [mm] $\mathbb [/mm] Z/3 [mm] \mathbb [/mm] Z$
> Oder muss ich wieder Nullstellen von [mm]\overline{P}[/mm] suchen,
> da deg [mm]\overline{P} \le[/mm] 3 ?
mod 3 ist das Suchen von Nullstellen/bzw. der Nachweis deren Nicht-Existenz ja nicht sonderlich aufwändig.
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