Irreduzibilität in C[X,Y] < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:24 Mi 09.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei [mm] f(X,Y)=X^{17}+Y^{41}(X^3+X+1)-Y \in \IC[X,Y]
[/mm]
a) Zeige, dass f als Polynom in X über dem Koeffizientenring [mm] \IC[Y] [/mm] irreduzibel ist (Hinweis: Eisenstein)
b)Man zeige, dass f ein irreduzibles Element im Ring [mm] \IC[X,Y] [/mm] ist. |
Guten Morgen,
meine Überlegungen zu a)
Y ist irreduzibel in [mm] \IC[Y]. [/mm] Da [mm] \IC[Y] [/mm] ein Hauptidealring ist, folgt, dass Y prim in [mm] \IC[Y] [/mm] ist. Betrachtet man f als Polynom in [mm] \IC[Y][X], [/mm] so folgt damit (f primitiv) mit Eisenstein, dass f irreduzibel über [mm] \IC[Y]
[/mm]
zu b) Hab bisher dann immer auf die Irreduzibilität von f in [mm] \IC[X,Y] [/mm] geschlossen, ohne mir groß Gedanken zu machen...
Folgende Überlegung:
Wäre f reduzibel in [mm] \IC[X,Y], [/mm] so gäbe es nichtkonstante g,h [mm] \in \IC[X,Y], [/mm] so dass f=gh.
g und h können dann auch als Polynome in X über [mm] \IC[Y] [/mm] betrachtet werden. Dann wäre jedoch f als Polynom in X jedoch reduzibel über [mm] \IC[Y], [/mm] ein Widerspruch.
Vor allem bei Aufgabe b bin ich mir nicht sicher, ob meine Argumentation stimmt.
Schönen Gruß, Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Mi 09.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Verena,
ich bin noch nicht voll im Thema, aber ist nicht f(X,Y) = XY irreduzibel über [mm] \IC[Y] [/mm] (weil vom Grad 1) und reduzibel über [mm] \IC[X,Y] [/mm] (weil es ja ein Produkt ist)?
Hilft mir jemand auf die Sprünge, ich muß jetzt über was anderes nachdenken...
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mi 09.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> ich bin noch nicht voll im Thema, aber ist nicht f(X,Y) =
> XY irreduzibel über [mm]\IC[Y][/mm] (weil vom Grad 1) und reduzibel
> über [mm]\IC[X,Y][/mm] (weil es ja ein Produkt ist)?
Man kann natuerlich irreduzibel in einem Polynomring so definieren, das dein $f$ tatsaechlich irreduzibel ist. Normalerweise definiert man es aber so, das es gerade der Irreduzibilitaet in [mm] $\IC[X,Y]$ [/mm] entspricht, da ja auch [mm] $(\IC[Y])[X] [/mm] = [mm] \IC[X,Y]$ [/mm] ist (die sind ja kanonisch isomorph, grad ueber die Auffassung als Polynome wie Verena sie beschrieben hat).
Insofern: Verena, schreib mal die genaue Definition von 'irreduzibel' fuer beide Ringe hier hin!
Verena, dein Text zu Aufgabe a) ist uebrigens ok!
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 09.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Dieter und Felix,
ich bin genau an der gleichen Stelle wie Dieter gehangen... Mir ist die Definition auch nicht ganz klar...
Aber ich versuch's nochmal:
> Insofern: Verena, schreib mal die genaue Definition von
> 'irreduzibel' fuer beide Ringe hier hin!
Stimmt's so?
Also, ein Polynom f(X) [mm] \in (\IC[Y])[X] [/mm] ist irreduzibel, wenn aus $f=g*h$ mit [mm] g,h\in (\IC[Y])[X] [/mm] folgt, dass g oder h [mm] \in (\IC[Y])[X]^\*. [/mm] Jetzt ist die Frage, was in diesem Ring die Einheiten sind... Nur [mm] \IC^\* [/mm] ?
Der Polynomring (R[Y])[X] besitzt genau die Einheiten [mm] $(R[Y])[X]^\*=R[Y]^\*=R^\*=\IC\backslash{0}$. [/mm]
[mm] $R[X]^\*=R^\*$: \supseteq [/mm] klar, [mm] \subseteq: [/mm] Ist $f*g=1$, so gilt deg(f)+deg(g)=0, also deg(f)=deg(g)=0, also [mm] f,g\in [/mm] R. Da $f*g=1$, folgt f,g in [mm] $R^\*$.
[/mm]
Ein Polynom [mm] f(X,Y)\in\IC[Y,X] [/mm] ist irreduzibel, wenn aus f=g*h mit [mm] g,h\in \IC[Y,X] [/mm] folgt, dass g oder h [mm] \in\IC[Y,X]^\*. [/mm] Wiederum die Frage, was in diesem Ring die Einheiten sind... Nur [mm] \IC^\* [/mm] ?
Seien f,g in [mm] R[X,Y]^\*=R^\*, [/mm] $f*g=1$. Dann gilt, dass sowohl der Grad von $f*g$ in X, als auch der Grad von $f*g$ in Y gleich 0 ist.
Also: f,g [mm] \in \IC^\*. [/mm] Damit [mm] \IC[Y,X]^\*=\IC^\*
[/mm]
Da beide Ringe diesselben Einheiten besitzen gilt: f irreduzibel in [mm] \IC[Y,X] [/mm] genau dann wenn f irreduzibel in [mm] (\IC[Y])[X].
[/mm]
Lg, Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 09.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> ich bin genau an der gleichen Stelle wie Dieter gehangen...
> Mir ist die Definition auch nicht ganz klar...
> Aber ich versuch's nochmal:
>
> > Insofern: Verena, schreib mal die genaue Definition von
> > 'irreduzibel' fuer beide Ringe hier hin!
>
> Stimmt's so?
>
> Also, ein Polynom f(X) [mm]\in (\IC[Y])[X][/mm] ist irreduzibel,
> wenn aus [mm]f=g*h[/mm] mit [mm]g,h\in (\IC[Y])[X][/mm] folgt, dass g oder h
> [mm]\in (\IC[Y])[X]^\*.[/mm] Jetzt ist die Frage, was in diesem
> Ring die Einheiten sind... Nur [mm]\IC^\*[/mm] ?
Genau.
> Der Polynomring (R[Y])[X] besitzt genau die Einheiten
> [mm](R[Y])[X]^\*=R[Y]^\*=R^\*=\IC\backslash{0}[/mm].
> [mm]R[X]^\*=R^\*[/mm]: [mm]\supseteq[/mm] klar, [mm]\subseteq:[/mm] Ist [mm]f*g=1[/mm], so
> gilt deg(f)+deg(g)=0, also deg(f)=deg(g)=0, also [mm]f,g\in[/mm] R.
> Da [mm]f*g=1[/mm], folgt f,g in [mm]R^\*[/mm].
Das stimmt so lange, wie $R[Y]$ nullteilerfrei ist. Andernfalls gilt [mm] $\deg(f [/mm] g) = [mm] \deg [/mm] f + [mm] \deg [/mm] g$ nicht umbedingt...
> Ein Polynom [mm]f(X,Y)\in\IC[Y,X][/mm] ist irreduzibel, wenn aus
> f=g*h mit [mm]g,h\in \IC[Y,X][/mm] folgt, dass g oder h
> [mm]\in\IC[Y,X]^\*.[/mm] Wiederum die Frage, was in diesem Ring die
> Einheiten sind... Nur [mm]\IC^\*[/mm] ?
Genau.
> Seien f,g in [mm]R[X,Y]^\*=R^\*,[/mm] [mm]f*g=1[/mm]. Dann gilt, dass sowohl
> der Grad von [mm]f*g[/mm] in X, als auch der Grad von [mm]f*g[/mm] in Y
> gleich 0 ist.
> Also: f,g [mm]\in \IC^\*.[/mm] Damit [mm]\IC[Y,X]^\*=\IC^\*[/mm]
Genau. Aber auch hier brauchst du wieder, dass der Grad multiplikativ ist, das also $R$ nullteilerfrei ist. Aber fuer $R = [mm] \IC$ [/mm] (was du hier hast) ist das ja erfuellt...
> Da beide Ringe diesselben Einheiten besitzen gilt: f
> irreduzibel in [mm]\IC[Y,X][/mm] genau dann wenn f irreduzibel in
> [mm](\IC[Y])[X].[/mm]
Die selben Einheiten reichen nicht, du brauchst das die Ringe sich auch sonst gleich verhalten. Aber das tun sie ja da sie isomorph sind...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 09.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
wie sieht denn der Isomorphismus von $ [mm] \IC[Y,X] [/mm] $ nach $ [mm] (\IC[Y])[X]$ [/mm] genau aus? Wenn ich den angeben kann, müsste ich dann überhaupt die Irreduzibilität in den einzelnen Ringen betrachten?
Würde es also genügen, wenn ich zeige, dass
[mm] $\Psi: \IC[Y,X] \to (\IC[Y])[X], f(X,Y)\mapsto [/mm] f(X)$ ein Ring-Isomorphismus ist?
Lg Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 09.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> wie sieht denn der Isomorphismus von [mm]\IC[Y,X][/mm] nach
> [mm](\IC[Y])[X][/mm] genau aus?
Der Isomorphismus ist die mathematische Formulierung der Aussage, das man Polynome in [mm] $\IC[Y,X]$ [/mm] als Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\IC[Y]$ [/mm] in der Unbestimmten $X$ auffassen kann, und umgekehrt Polynome in der Unbestimmten $X$ mit Koeffizienten aus [mm] $\IC[Y]$ [/mm] als Polynome in den zwei Unbestimmten $X$ und $Y$ auffassen kann.
Wie du das nun genau aufschreibst sei dir selbst ueberlassen.
> Wenn ich den angeben kann, müsste
> ich dann überhaupt die Irreduzibilität in den einzelnen
> Ringen betrachten?
Genau: In beiden Ringen habt ihr ``irreduzibel'' ja genau gleich definiert, und Isomorphismen erhalten Einheiten und Produkte.
> Würde es also genügen, wenn ich zeige, dass
> [mm]\Psi: \IC[Y,X] \to (\IC[Y])[X], f(X,Y)\mapsto f(X)[/mm] ein
> Ring-Isomorphismus ist?
Ja. Wobei das ja eigentlich offensichtlich ist 
(Und vielleicht habt ihr das in der Vorlesung auch schon indirekt gemacht?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 10.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke für Deine Erklärungen. Haben in der Vorlesung nur den Polynom- Ring in einer Variablen behandelt, aber habe mich im Bosch nochmal schlau gemacht... Bin mir aber nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe.
Die Aufgabe ist im Staatsexamen letztes Frühjahr aufgetaucht.
Ich denke, dass man da $ [mm] \Psi: (\IC[Y])[X]\to \IC[Y,X] [/mm] , f(X) [mm] \mapsto [/mm] f(X,Y)$ explizit hinschreiben sollte. Vielleicht soll man hier die formale Schreibweise verwenden:
Wäre folgendes hier richtig?
Sei [mm] \IN [/mm] im folgenden die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0.
Sei M:= [mm] \IN^n. [/mm] Definiere [mm] $R[M]:=R^{(M)}:=\{(a_n)_{n\in M}; a_n\in R, a_n=0 \mbox{ für fast alle }n\}$ [/mm] mit den Verknüpfungen
[mm] $(a_n)_{n\in M}+(b_n)_{n\in M}:=(a_n+b_n)_{n\in M},
[/mm]
[mm] (a_n)_{n\in M}*(b_n)_{n\in M}:=(c_n)_{n\in M}, c_n=\summe_{k+l=n}a_k*b_l$.
[/mm]
Dann gilt: $ [mm] \IC[X,Y]=\IC[\IN^2], \IC[X,Y]=(\IC[\N])[N]$.
[/mm]
Ein Element in [mm] \IC[\IN^2] [/mm] lässt sich scheiben als [mm] (a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}, [/mm] ein Element in [mm] (\IC[\N])[N] [/mm] hat die Form [mm] ((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}.
[/mm]
Das Einselement in [mm] \IC[\N^2] [/mm] hat bei (m,n)=(0,0) den Eintrag 1 und ist sonst 0.
Das Einselement in [mm] (\IC[\N])[N] [/mm] hat bei n=0 den Eintrag 1 und ist sonst 0.
Definiere also [mm] \Psi:\IC[\IN^2]\to(\IC[\IN])[\IN], (a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}\mapsto ((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN} [/mm]
und zeige, dass dies ein Ringiso bzgl der obigen Verknüpfungen ist.
Homomorphie:
[mm] \Psi((1)_{(n,m)})=1_{nm}
[/mm]
[mm] \Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}+(b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})=
[/mm]
[mm] \Psi(a_{(n,m)}+b_{(n,m)})_)_{(n,m)\in\IN^2}=
[/mm]
[mm] ((a_{nm}+b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=
[/mm]
[mm] ((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}+((b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})+\Psi((b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2} [/mm]
[mm] \Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}*(b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})=\Psi([\summe_{(i,j)+(k,l)=(m,n)}a_{(i,j)}*b_{(k,l)}]_{(n,m)\in\IN^2})=
[/mm]
[mm] [[\summe_{j+l=m}\summe_{i+k=n}a_{ij}*b_{kl}]_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=
[/mm]
[mm] [\summe_{j+l=m}[\summe_{i+k=n}a_{ij}*b_{kl}]_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=
[/mm]
[mm] [\summe_{j+l=m}(a_{nj})_{n\in\IN}*(b_{nl})_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=
[/mm]
[mm] ((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}*((b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})*\Psi((b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})
[/mm]
Um die Bijektivität zu zeigen, betrachte einfach die Umkehrabbildung, die mit denselben Argumenten ein Ringiso ist.
Stimmt obeige Argumentation?
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Do 10.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> danke für Deine Erklärungen. Haben in der Vorlesung nur den
> Polynom- Ring in einer Variablen behandelt, aber habe mich
> im Bosch nochmal schlau gemacht... Bin mir aber nicht
> sicher, ob ich alles richtig verstanden habe.
>
> Die Aufgabe ist im Staatsexamen letztes Frühjahr
> aufgetaucht.
War die Klausur von dem gleichen Prof bei dem du die VL gehoert hast?
> Ich denke, dass man da [mm]\Psi: (\IC[Y])[X]\to \IC[Y,X] , f(X) \mapsto f(X,Y)[/mm]
> explizit hinschreiben sollte. Vielleicht soll man hier die
> formale Schreibweise verwenden:
Ich wuerd es halt kurz in Worten begruenden (man fasst sie Polynome anders auf...), da die formale Schreibweise etwas zu lang ist 
> Wäre folgendes hier richtig?
Ja. Modulo ein paar leicht falsch gesetzt Klammern (aber das ist auch etwas unuebersichtlich hier im Eingabefenster... :) ).
>
> Sei [mm]\IN[/mm] im folgenden die Menge der natürlichen Zahlen
> inklusive der 0.
>
> Sei M:= [mm]\IN^n.[/mm] Definiere [mm]R[M]:=R^{(M)}:=\{(a_n)_{n\in M}; a_n\in R, a_n=0 \mbox{ für fast alle }n\}[/mm]
> mit den Verknüpfungen
> [mm]$(a_n)_{n\in M}+(b_n)_{n\in M}:=(a_n+b_n)_{n\in M},[/mm]
>
> [mm](a_n)_{n\in M}*(b_n)_{n\in M}:=(c_n)_{n\in M}, c_n=\summe_{k+l=n}a_k*b_l$.[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\IC[X,Y]=\IC[\IN^2], \IC[X,Y]=(\IC[\N])[N][/mm].
> Ein
> Element in [mm]\IC[\IN^2][/mm] lässt sich scheiben als
> [mm](a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2},[/mm] ein Element in [mm](\IC[\N])[N][/mm]
> hat die Form [mm]((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}.[/mm]
> Das Einselement in [mm]\IC[\N^2][/mm] hat bei (m,n)=(0,0) den
> Eintrag 1 und ist sonst 0.
> Das Einselement in [mm](\IC[\N])[N][/mm] hat bei n=0 den Eintrag 1
> und ist sonst 0.
>
> Definiere also [mm]\Psi:\IC[\IN^2]\to(\IC[\IN])[\IN], (a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}\mapsto ((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}[/mm]
> und zeige, dass dies ein Ringiso bzgl der obigen
> Verknüpfungen ist.
> Homomorphie:
>
> [mm]\Psi((1)_{(n,m)})=1_{nm}[/mm]
>
> [mm]\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}+(b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})=[/mm]
> [mm]\Psi(a_{(n,m)}+b_{(n,m)})_)_{(n,m)\in\IN^2}=[/mm]
> [mm]((a_{nm}+b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=[/mm]
>
> [mm]((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}+((b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})+\Psi((b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}[/mm]
>
>
> [mm]\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2}*(b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})=\Psi([\summe_{(i,j)+(k,l)=(m,n)}a_{(i,j)}*b_{(k,l)}]_{(n,m)\in\IN^2})=[/mm]
>
> [mm][[\summe_{j+l=m}\summe_{i+k=n}a_{ij}*b_{kl}]_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=[/mm]
>
> [mm][\summe_{j+l=m}[\summe_{i+k=n}a_{ij}*b_{kl}]_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=[/mm]
>
> [mm][\summe_{j+l=m}(a_{nj})_{n\in\IN}*(b_{nl})_{n\in\IN}]_{m\in\IN}=[/mm]
>
> [mm]((a_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}*((b_{nm})_{n\in\IN})_{m\in\IN}=\Psi((a_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})*\Psi((b_{(n,m)})_{(n,m)\in\IN^2})[/mm]
>
> Um die Bijektivität zu zeigen, betrachte einfach die
> Umkehrabbildung, die mit denselben Argumenten ein Ringiso
> ist.
Fuer die Bijektivitaet reicht es sogar, einfach eine Umkerabbildung anzugeben, die kein Ringmorphismus sein braucht. Aber das die Abbildung oben bijektiv ist sieht man ja schon direkt an der Definition :)
> Stimmt obeige Argumentation?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Do 10.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke für Deine Tipps . Die Aufgabe ist aus einer Staatsexamensaufgabe. Die werden von irgendwelchen Professoren in Bayern gestellt wird, sind also leider nicht auf irgendeine Vorlesung zugeschnitten :-(
Lg, Verena
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