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Irreduzibilität: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Fr 18.05.2012
Autor: Raute1337

Aufgabe
Seien:
k = [mm] \IF_{2}(t) [/mm]
f = [mm] X^4 [/mm] + [mm] tX^2 [/mm] + t  [mm] \in [/mm] k[X]
a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
K = k(a)

Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K über k.

Die Fälle mit t [mm] \in \IF_{2} [/mm] sind klar, also sei t [mm] \not\in \IF_{2}. [/mm]
Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X] ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss nicht einmal algebraisch über [mm] \IF_{2} [/mm] sein.
Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm] \IF_{2}(t) [/mm] prim? Und wenn ja, warum genau?
Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit Eisenstein und t als Primelement folgen.
Wenn t transzendent über [mm] \IF_{2} [/mm] wäre, dann wäre k isomorph zu [mm] \IF_{2}(X) [/mm] und wir könnten also t als "Monom" X betrachten und diese sind prim in [mm] \IF_{2}(X), [/mm] aber für den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...

Vielen Dank!

        
Bezug
Irreduzibilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Fr 18.05.2012
Autor: teo


> Seien:
>  k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm]
>  f = [mm]X^4[/mm] + [mm]tX^2[/mm] + t  [mm]\in[/mm] k[X]
>  a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
>  K = k(a)
>  
> Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K
> über k.
>  Die Fälle mit t [mm]\in \IF_{2}[/mm] sind klar, also sei t [mm]\not\in \IF_{2}.[/mm]
>  
> Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X]
> ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
>  Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss
> nicht einmal algebraisch über [mm]\IF_{2}[/mm] sein.
>  Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm] prim? Und
> wenn ja, warum genau?
>  Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit
> Eisenstein und t als Primelement folgen.
>  Wenn t transzendent über [mm]\IF_{2}[/mm] wäre, dann wäre k
> isomorph zu [mm]\IF_{2}(X)[/mm] und wir könnten also t als "Monom"
> X betrachten und diese sind prim in [mm]\IF_{2}(X),[/mm] aber für
> den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...
>  
> Vielen Dank!

Hallo,

[mm]\IF_2[/mm] ist ein Körper also Hauptidealbereich also ist das von t erzeugte Ideal maximal und insbesondere prim.

Grüße

Bezug
        
Bezug
Irreduzibilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 So 20.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> Seien:
>  k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm]
>  f = [mm]X^4[/mm] + [mm]tX^2[/mm] + t  [mm]\in[/mm] k[X]
>  a eine Nullstelle von f in einem algebr. Abschluß von k
>  K = k(a)
>  
> Bestimme den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung K
> über k.
>
>  Die Fälle mit t [mm]\in \IF_{2}[/mm] sind klar, also sei t [mm]\not\in \IF_{2}.[/mm]

Moment! $t$ ist eine Unbestimmte ueber [mm] $\IF_2$, [/mm] also ein transzendentes Element. Damit gilt insbesondere $t [mm] \not\in \IF_2$. [/mm]

> Ich will jetzt irgendwie zeigen, dass f irreduzibel in k[X]
> ist - am liebsten per Eisensteinkriterium.
>  Problem ist das t nicht weiter beschrieben ist - t muss
> nicht einmal algebraisch über [mm]\IF_{2}[/mm] sein.

Nein. $t$ ist transzendent ueber [mm] $\IF_2$. [/mm]

>  Meine Frage ist: Ist dann t in k = [mm]\IF_{2}(t)[/mm] prim? Und
> wenn ja, warum genau?

Da [mm] $\IF_2(t)$ [/mm] ein Koerper ist, ist kein Element dort drinnen prim. Alle Elemente sind entweder 0 oder Einheiten.

>  Wenn dem so wäre, dann würde die Irreduzibilität mit
> Eisenstein und t als Primelement folgen.

Du kannst Eisenstein verwenden: und zwar ueber dem Ring [mm] $\IF_2[/mm] [t]$. Dort ist $t$ prim. Der Quotientenkoerper davon ist $k$, und mit dem Satz von Gauss ist ein primitives Polynom in [mm] $(\IF_2[/mm] [t])[X]$ genau dann irreduzibel, wenn es in $k[X]$ irreduzibel ist.

>  Wenn t transzendent über [mm]\IF_{2}[/mm] wäre, dann wäre k
> isomorph zu [mm]\IF_{2}(X)[/mm] und wir könnten also t als "Monom"

Du solltest hier nicht $X$ verwenden, sondern eine andere Variablenbezeichnung.

> X betrachten und diese sind prim in [mm]\IF_{2}(X),[/mm] aber für

In einem Koerper gibt es keine Primelemente!!!

> den algebraischen Fall bin ich mir nicht mehr so sicher...

Wenn du $t$ als algebraisches Element ueber [mm] $\IF_2$ [/mm] auffassen willst, dann ist $k$ ein endlicher Koerper, und ebenso der Zerfaellungskoerper vom Polynom. Dort ist der Frobeniushomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] bijektiv, womit [mm] $X^4 [/mm] + t [mm] X^2 [/mm] + t = [mm] (X^2 [/mm] + [mm] \varphi^{-1}(t) [/mm] X + [mm] \varphi^{-1}(t))^2$ [/mm] ist. Dabei liegt [mm] $\varphi^{-1}(t)$ [/mm] in $k$ selber. Somit ist das Polynom insbesondere nicht irreduzibel. Damit weisst du, dass $[k(a) : k] [mm] \le [/mm] 2$ ist. Ob es gleich 1 oder gleich 2 ist haengt davon ab, ob [mm] $X^2 [/mm] + [mm] \varphi^{-1}(t) [/mm] X + [mm] \varphi^{-1}(t)$ [/mm] eine Nullstelle in [mm] $\IF_2(t)$ [/mm] hat. Das ist dann nicht mehr so einfach so untersuchen, glaube ich...

LG Felix


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