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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 18.01.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich soll mit dem Eisensteinkriterium überprüfen, ob die Polynome
[mm] 8x^{3}-6x+1 [/mm] und [mm] x^{3}+6x^{2}+7 [/mm] über [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel sind.
Ich brauche dazu ja ein Primelement p aus [mm] \IQ [/mm] welches im ersteren Polynom die 1 und die 6 teilt aber die 8 nicht. Und [mm] p^{2} [/mm] darf die 1 nicht teilen.
Aber was sind Primelemente aus [mm] \IQ? [/mm] Oder sind das einfach die Primelemente aus [mm] \IZ? [/mm] Das kann aber nicht sein, da ja die 1 keine Primzahl ist aber ja nur die 1 auch die 1 teilt.
Also irgendwie kriege ich das hier nicht so richtig hin.
Ich wäre dankbar für Tipps!
Gruß,
clwoe
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Hallo Dominic,
> Hallo,
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> ich soll mit dem Eisensteinkriterium überprüfen, ob die
> Polynome
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> [mm]8x^{3}-6x+1[/mm] und [mm]x^{3}+6x^{2}+7[/mm] über [mm]\IQ[x][/mm] irreduzibel
> sind.
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> Ich brauche dazu ja ein Primelement p aus [mm]\IQ[/mm] welches im
> ersteren Polynom die 1 und die 6 teilt aber die 8 nicht.
> Und [mm]p^{2}[/mm] darf die 1 nicht teilen.
>
> Aber was sind Primelemente aus [mm]\IQ?[/mm] Oder sind das einfach
> die Primelemente aus [mm]\IZ?[/mm] Das kann aber nicht sein, da ja
> die 1 keine Primzahl ist aber ja nur die 1 auch die 1
> teilt.
>
> Also irgendwie kriege ich das hier nicht so richtig hin.
Betrachte hier mal anstatt [mm] $f(x)=8x^{3}-6x+1$ [/mm] lieber $f(x+1)=...$
Und anstatt [mm] $g(x)=x^3+6x^2+7$ [/mm] eher $g(x+2)$ ...
Dann klappt das mit Eisenstein
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> Ich wäre dankbar für Tipps!
>
> Gruß,
> clwoe
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 18.01.2009 | | Autor: | clwoe |
Hi,
erstmal danke für die Antwort, allerdings verstehe ich überhaupt nicht wie du das meinst.
Ich soll doch f(x) und nicht f(x+1) überprüfen. Ich weiß nicht was ich hier mit deinem Tipp anfangen soll.
Gruß,
Dominic
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 So 18.01.2009 | | Autor: | fenchel |
Wenn man ein Polynom f(x) auf reduzibel/irreduzibel prüfen will, kann man den Einsetzungshomomorphismus
[mm] \IZ[x]\to \IZ[x], g(x)\mapsto [/mm] g(x+1) betrachten. Dies ist ein Ringisomorphismus, [mm] g^{-1}(x)\mapsto g^{-1}(x-1) [/mm] ist auch Ringhomom.
Zeigt man nun, dass f(x+1) irreduzibel ist, z.B. mit dem Eisensteinkriterium, dann folgt, dass auch f(x) irreduzibel ist (da der Einsetzungshomom., wie alle Homomorphismen, strukturerhaltend ist).
Gruss
fenchel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:56 Mo 19.01.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
habe das jetzt mit f(x+1) ausprobiert. Hat natürlich auch funktioniert.
Nur warum soll ich jetzt beim zweiten Polynom g(x+2) machen und nicht wieder g(x+1)?
Wenn ich nämlich g(x+1) mache greift das Eisensteinkriterium nicht, bei g(x+2) aber schon. Woher soll ich wissen was für ein Argument ich benutzen soll?
Und ich selbst habe von diesem Homomorphismus auch noch nie was gehört. Wir bekamen von unserem Prof. nur den Hinweis im Buch das Eisensteinkriterium zu lesen und da stand nichts von diesem Homomorphismus.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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