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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 08.02.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | | Ist [mm] x^{4}+16 \in \IQ[x] [/mm] irreduzibel? |
Hallo,
ich komm bei diesem Polynom nicht weiter. Das Eisensteinkriterium kann man nicht anwenden, da es mit p=2 nicht klappt.
Durch Substitution klappt es auch nicht.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen.
Danke im voraus.
cloe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 09.02.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also ich würde sagen, dass das Polynom irreduzibel ist. Ich schlage dir mal 2 Methoden vor:
1.MÖGLICHKEIT:
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Wir verwenden die Koeffizientenreduktion modulo p. Dazu benötigen wir (Voraussetzungen):
f = [mm] a_{n}*x^{n}+...+a_{1}*x^{1}+a_{0} [/mm] in Z[x]
f primitiv (d.h. [mm] ggT(a_{n},...,a_{0})=1)
[/mm]
grad(f)=n>0
[mm] a_{n} [/mm] nicht kongruent zu 0 mod p
Wir wählen p=3:
Da die Koeffizienten alle in Z sind, ist f in Z[x].
ggT(1,16)=1, also primitiv (außerdem sind alle normierten Polynome primitiv).
grad(f) = 4 > 0
1 nicht kongruent zu 0 mod 3
Nun konstruieren wir ein neues Polynom f*, indem wir die Koeffizienten module 3 betrachten, also:
f* = [mm] x^{4} [/mm] + 1
Die möglichen Nullstellen in [mm] Z_{3} [/mm] sind 0,1,2
f*(0) = 1, f*(1) = 2 und f*(2) = 2
Demnach besitzt das Polynom in [mm] Z_{3} [/mm] keine Nullstellen und ist somit irreduzibel in [mm] Z_{3}. [/mm] Die Folgerung der Koeffizientenreduktion ist nun, dass hieraus die Irreduzibilität von f in Z folgt.
Nun noch Satz von Gauß:
f irreduzibel in Z und f nicht konstant (da grad(f)=4>0) => f irreduzibel in Quot(Z)=Q
2.MÖGLICHKEIT:
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Ich habe zunächst durch Substitution [mm] (z=x^{2}) [/mm] das [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] bestimmt:
[mm] z_{1} [/mm] = - [mm] \wurzel{-16} [/mm] und
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{-16}
[/mm]
Anschließend mit p-q-Formel erhält man die Nullstellen:
[mm] x_{1} [/mm] = 2* [mm] \wurzel{i}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = -2* [mm] \wurzel{i}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 2*i* [mm] \wurzel{i} [/mm] und
[mm] x_{4} [/mm] = -2*i* [mm] \wurzel{i}
[/mm]
Da diese alle komplex sind (was wir schon erahnen konnten, da das Polynom auch keine reellen Nullstellen besitzt) gibt es schon einmal keine Zerlegung in ein Polynom 3 und einem Polynom 1 Grades.
Eine weitere Überlegung ist es dieses Polynom in zwei Polynome zweiten Grades zu zerlegen, d.h.
[mm] (x^{2} [/mm] + [mm] a)(x^{2} [/mm] + b) = [mm] x^{4} [/mm] + 16
hierbei erhält man das b = 4i und a = -4i sind (also a und b sind nicht in Q). Damit existiert eine solche Zerlegung in Q nicht.
Also gibt es nur eine mögliche Zerlegung:
[mm] x^{4} [/mm] + 16 = [mm] (x^{4} [/mm] + 16) * 1 = 1 * [mm] (x^{4} [/mm] + 16)
Wenn wir nun noch einmal an die Definition der Irreduzibilität denken, besagt sie ja:
"Für jede Zerlegung des Polynoms f in a*b muss entweder a oder b in der Menge der Einheiten von Q sein."
Da für die einzige mögliche Zerlegung gilt, dass 1 in der Menge der Einheiten liegt, ist das Polynom irreduzibel.
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Die wichtigsten Kriterien für Irreduzibilität sind "Eisenstein", "Koeffizientenreduktion" und "Satz von Gauß".
Also ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte.
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