Irrationalität beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Zahl [mm] \alpha [/mm] irrational ist:
[mm] \alpha [/mm] = 0,23571113... (alle Primzahlen hintereinander geschrieben) |
Mir fehlt hier komplett der Ansatz...Ich müsste diese Zahl ja erstmal in eine Form bringen, mit der ich Irrationalität beweisen kann und ich bin mir nicht so sicher, welche Form gut wäre. Es wär lieb, wenn ihr mir helfen könntet !
Lg
lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass die folgende Zahl [mm]\alpha[/mm] irrational ist:
> [mm]\alpha[/mm] = 0,23571113... (alle Primzahlen hintereinander
> geschrieben)
>
> Mir fehlt hier komplett der Ansatz...Ich müsste diese
> Zahl ja erstmal in eine Form bringen, mit der ich
> Irrationalität beweisen kann und ich bin mir nicht so
> sicher, welche Form gut wäre. Es wär lieb, wenn ihr mir
> helfen könntet !
Erstmal ist die Dezimaldarstellung unendlich lang, da es unendlich viele Primzahlen gibt.
Wenn die Zahl rational ist, waer die Dezimalentwicklung periodisch.
Da es weiterhin unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es irgendeine Primzahl, ab der alle Primzahlen eine Dezimaldarstellung haben, die laenger als die Periode ist.
Dann zeigt sich aber: es kann nur noch sehr wenige Primzahlen mit der gleichen Ziffernlaenge geben (ansonsten wuerde sich was wiederholen), naemlich hoechstens so viele wie die Periode lang ist; das ist allerdings absurd, da es sehr sehr viele Primzahlen der gleichen Ziffernlaenge gibt.
Wenn du also zeigen kannst, dass die Anzahl der Primzahlen pro Ziffernlaenge $n$ fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen unendlich geht, bekommst du einen Widerspruch.
Das ist vielleicht nicht der einfachste/eleganteste Weg, aber er sollte gehen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 30.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
Puh so richtig klar ist mir dein Ansatz noch nicht
> Erstmal ist die Dezimaldarstellung unendlich lang, da es
> unendlich viele Primzahlen gibt.
is klar
> Wenn die Zahl rational ist, waer die Dezimalentwicklung
> periodisch.
wie drück ich sowas förmlich aus....also es macht für mich normal ausgedrückt schon sinn, aber kann ich sowas einfach behaupten?
>
> Da es weiterhin unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es
> irgendeine Primzahl, ab der alle Primzahlen eine
> Dezimaldarstellung haben, die laenger als die Periode ist.
Häh? Wie die Primzahlen haben eine Dezimaldarstellung? Meinst du jetzt die allgemeine von oben? Da blick ich noch nich ganz durch
> Dann zeigt sich aber: es kann nur noch sehr wenige
> Primzahlen mit der gleichen Ziffernlaenge geben (ansonsten
> wuerde sich was wiederholen), naemlich hoechstens so viele
> wie die Periode lang ist; das ist allerdings absurd, da es
> sehr sehr viele Primzahlen der gleichen Ziffernlaenge
> gibt.
Würde ich wsl verstehen wenn ich das davor verstehe
> Wenn du also zeigen kannst, dass die Anzahl der Primzahlen
> pro Ziffernlaenge [mm]n[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm] gegen unendlich geht,
> bekommst du einen Widerspruch.
>
> Das ist vielleicht nicht der einfachste/eleganteste Weg,
> aber er sollte gehen
>
> LG Felix
>
Wär lieb wenn du mir nochmal helfen könntest! danke
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Hallo lenzlein!
> Puh so richtig klar ist mir dein Ansatz noch nicht
Das kommt schon noch. Der Ansatz von Felix ist gut, ich sehe gerade auch keinen anderen.
> > Erstmal ist die Dezimaldarstellung unendlich lang, da es
> > unendlich viele Primzahlen gibt.
>
> is klar
>
> > Wenn die Zahl rational ist, waer die Dezimalentwicklung
> > periodisch.
>
> wie drück ich sowas förmlich aus....also es macht für
> mich normal ausgedrückt schon sinn, aber kann ich sowas
> einfach behaupten?
hmm. Ich denke, das darf man voraussetzen. Die Darstellung einer rationalen Zahl bezüglich jeder festen Basis ist periodisch (sofern eine unendliche Folge von Nullen auch als periodisch gilt).
> > Da es weiterhin unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es
> > irgendeine Primzahl, ab der alle Primzahlen eine
> > Dezimaldarstellung haben, die laenger als die Periode ist.
>
> Häh? Wie die Primzahlen haben eine Dezimaldarstellung?
> Meinst du jetzt die allgemeine von oben? Da blick ich noch
> nich ganz durch
Na, das war doch die Definition der Zahl. Alle Primzahlen in ihrer Dezimaldarstellung aufsteigend hintereinander geschrieben.
> > Dann zeigt sich aber: es kann nur noch sehr wenige
> > Primzahlen mit der gleichen Ziffernlaenge geben (ansonsten
> > wuerde sich was wiederholen), naemlich hoechstens so viele
> > wie die Periode lang ist; das ist allerdings absurd, da es
> > sehr sehr viele Primzahlen der gleichen Ziffernlaenge
> > gibt.
>
> Würde ich wsl verstehen wenn ich das davor verstehe
hm. Ich finde das auch noch nicht den geschicktesten Weg. Siehe unten.
> > Wenn du also zeigen kannst, dass die Anzahl der Primzahlen
> > pro Ziffernlaenge [mm]n[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm] gegen unendlich geht,
> > bekommst du einen Widerspruch.
Es genügt doch anzunehmen, es gebe eine Periodenlänge [mm] \ell. [/mm] Dann reicht es zu zeigen, dass es zwei verschiedene Primzahlen genau dieser Länge (in Dezimaldarstellung) gibt.
Das allerdings ist nicht so einfach möglich, denn die übliche Abschätzung für die Zahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze (oder, damit hergeleitet, zwischen zwei gegebenen Grenzen) genügt natürlich nicht.
Das heißt, es könnte den Sonderfall geben, dass es tatsächlich nur eine Primzahl der Länge [mm] \ell [/mm] gibt. Was würde das dann für die Gestalt (sprich: Dezimaldarstellung) aller größeren Primzahlen heißen?
> > Das ist vielleicht nicht der einfachste/eleganteste Weg,
> > aber er sollte gehen
Er ist nicht einfach, aber die Idee ist elegant. Wie man da aber "kurz" herauskommt, sehe ich noch nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen Sie, dass die folgende Zahl [mm]\alpha[/mm] irrational ist:
> [mm]\alpha[/mm] = 0,23571113... (alle Primzahlen hintereinander
> geschrieben)
die Zahl hat uebrigens einen Namen: ![[]](/images/popup.gif) Copeland–Erdős-Konstante.
Da steht auch: "The constant is irrational; this can be proved with Dirichlet's theorem on arithmetic progressions or Bertrand's postulate (Hardy and Wright, p. 113)."
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mi 01.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
guter Fund.
Zugleich wird deutlich, dass der Beweis doch nicht so einfach ist, wie der Aufgabensteller offenbar annimmt. Außerdem zeigt sich, dass Deine Idee hier früher im Thread den richtigen Weg markiert.
Nehmen wir an, wir kennten alle Primzahlen bis zu einer gewissen Grenze, und die läge bei p=13597. Ich schenke mir mal die Betrachtung der nächstkleineren Primzahlen und nehme weiter an, das sei nun die Periode des Dezimalbruchs: [mm] 0,2357\cdots\overline{13597}
[/mm]
Dann kann die nächstgrößere Primzahl ja nur aus einem Abschnitt dieser periodischen Ziffernfolge bestehen, beginnend mit 1. Das gestaltet sich schon schwierig, vielleicht ist also das Beispiel nicht gut gewählt. Die nächste Primzahl innerhalb dieser Periodizität ist erst diese:
135971359713597135971359713597135971359,
gefolgt von 713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597135971359713597
Leider liegt in dieser Ziffernfolge keine Primzahl zwischen diesen beiden. Versuche mit anderen Kombinationen bringen ähnliche Ergebnisse.
Das Problem ist nur: wie zeigt man das mit gängigen Mitteln?
Wer selbst probieren will, hat mit diesem Tool eine gute Hilfe.
Grüße
reverend
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